更新：that的用法总结已经写出来了，除了原来这个回答的内容，还有几种情况。需要全文的，可以在EnglishBuddy微信公众号回复关键词「that」免费获取。

这是一个「that」能否省略的问题，所以我修改了问题，现在回答如下。

首先，「that」有限定词、副词、普通代词、关系代词、连词等词性，其中用作关系代词和连词时，部分情况下可以省略，能省略的情况有：

1. 宾语从句的引导连词that往往可以省略

这个句子显然是省略了引导连词「that」，因为「that」做宾语从句的引导词。

2. 关系代词在定语从句中做宾语，关系代词可以省略

在定语从句中，「that」是动词「love」的宾语，此时可以省略。当然，这里的关系代词除了「that」，也包含其他关系代词，比如「which」「who」「whom」等。

3. 关系代词在定语从句中做主语，后面接be动词，【往往】同时省略关系代词和be动词

关系代词在定语从句中做主语S，后面接be，那么定语从句的句子结构就是「S be X」的形式，省略掉「S be」之后，剩下「X」往往就变成了非谓语动词（广义的）做后置定语。根据「X」能包含的形式，「be X」可能的结构有：

1）be doing进行时态

省略「who/that was」之后，就变成了「crossing」做后置定语，修饰「a man」，即现在分词做后置定语，是非谓语动词做后置定语的一种。

但是有些句子加上「who/that are」之后的句子可能会让人觉得奇怪，语法上不完全成立，或者语义有点别扭，比如：

注意这里是「可以理解为」，因为「treat」这个词在这里正常应该使用一般现在时，即「...men who treat their wives with courtesy.」

同理，这里的关系代词除了「that」，也包含其他关系代词，比如「which」「who」等。

2）be done被动语态

这个也是常见的过去分词后后置定语，也是非谓语动词做后置定语的一种。同理，这里的关系代词除了「that」，也包含其他关系代词，比如「which」「who」等。

3）be to do

「to do」的情况比较复杂，因为它涉及到一个主被动转换的问题，而这个主被动往往无法根据纯形式来判断，只能根据语法和语义综合判断。但是根据语义修正主被动转换的问题之后，还是符合本条「关系代词在定语从句中做主语，后面接be动词，往往同时省略关系代词和be动词」的规律。同理，这里的关系代词除了「that」，也包含其他关系代词，比如「which」「who」等。

这就是大家都很熟悉的「something to eat」表示「(被)吃的动词」，而不是「吃(别的东西)的东西」。如果根据语义把主动被修正为「something to be eaten」之后，仍然可以发现它是省略了「that is」，即省略了关系代词和be动词。

但是也并不是所有的「to do」都涉及到这种主被动转换。下面区分两个句子：

这里的「to speak」就是主动的，即正常省略了「who/that is」，还是省略了关系代词和be动词。本句可以翻译为「她是接下来要发言的人」。

这一句涉及到「to do」的主被动转换，但是在修正完主被动转换之后，还是能省略了「who/that is」，即省略了关系代词和be动词。本句可以字面翻译为「她是可以（对她）说话的人」，或者灵活一点翻译为「她是可以托付秘密的人」，或者「她就是你要找的人（去找她说话）」。

4）be + PO

这就是常见的介宾短语做后置定语，可以理解为一个定语从句的省略，省略了「that is」，即省略了关系代词和be动词。

5）be + n.

这就是同位语，也可以理解为一个定语从句的省略，省略了「who is/was」，即省略了关系代词和be动词。当然，因为前面有逗号，这里的关系代词不能用「that」，只能用「which」和「who」。

6）be + adj.

这个句子也可以理解为省略一个定语从句的省略，省略了「who was」，即省略了关系代词和be动词。当然，因为前面有逗号，这里的关系代词不能用「that」，只能用「which」和「who」。

当然了，能够这么理解的往往是形容词放在它修饰的名词后面，但是英语里面的形容词往往是做前置定语，做后置定语的除了上句中的插入型后置定语，还有不定代词的后置定语。比如：

这个词组自然也可以理解为省略一个定语从句的省略，省略了「that is」，即省略了关系代词和be动词。

反过来看，「that」不能省略的情况有：

1. 用作限定词、副词、普通代词时不能省略

2. 用作关系代词和连词时，除上述能省略的情况外，其他情况不能省略

因为「that」能用于定语从句、状语从句、名词性从句（主语、宾语、表语、同位语）等所有的复杂句从句类型，所以除去上述能省略的情况外，不能省略的情况包括：

最后，具体到题主的两个句子，分析如下：

这里的「after」本身就是个连词，可以直接引导状语从句，加完整的句子即可，所以这里的「after」之后不需要「that」。

当然，也有人说这里的「after」是一般介词，介词后面加名词性成分，现在后面是一个完整句子，在这个完整句子前面加一个「that」把这个句子变成名词性从句，做「after」这个介词的「宾语从句」。这样解释也可以理解，但是考虑到「after」本身就能做连词，直接加完整句子做状语从句，所以似乎不太必要把「after」单独理解为一般介词，所以一般来说，这里的「after」后面如果加上「that」，视为错误。

这个句子的「that」是连词，引导同位语从句，即：

「a conclusion」笼统概括这个句子，这个句子具体解释「a conclusion」的内容。这种引导同位语从句的「that」是不能省略的。