高等数学:第五章 定积分(2)换元积分法 分部积分法 广义积分 |
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§5.4 定积分的换元法 一、换元公式 【定理】若 1、函数 2、函数 3、当
则有
证明: (1)式中的被积函数在其积分区间上均是连续, 故(1)式两端的定积分存在。且(1)式两端的被积函数的原函数均是存在的。 假设 另一方面, 函数 这表明: 函数 从而有 对这一定理给出几点注解: 1、用替换 求出 2、应注意代换的条件,避免出错。 (1)、 (2)、 3、对
【例1】求 【解法一】 令 当 又当 且变换函数 由换元公式有
【解法二】令 当 又当 且变换函数 由换元公式有 注意: 在【解法二】中,经过换元,定积分的下限较上限大。 换元公式也可以反过来, 即 【例2】求 解:设 当
一般来说,这类换元可以不明显地写出新变量,自然也就不必改变定积分的上下限。 二、常用的变量替换技术与几个常用的结论 【例3】证明 1、若 2、若 证明:由定积分对区间的可加性有
对 故有
若 若 【例4】若 1、 2、 并由此式计算定积分
1、证明:设
2、证明: 设
【例5】求 解:令 故 评注: 这一定积分的计算并未求原函数,只用到了变量替换、定积分性质,这一解法值得我们学习。
§5.5 定积分的分部积分法 设函数 而 故 这就是定积分的分部积分公式。 也可写成形式
【例1】求 解: 令 当
【例2】计算定积分 解:设
这样,我们得到了递推公式,依此公式,再计算出两个简单的初值
当 引入记号 同理,若 综合便得到著名的华里斯公式一 由于
【例3】求 解:令 当
【例4】(华里斯公式二)
证明:设 当 如果 如果 综合得到著名而常用的华里斯公式二 华里斯公式的应用十分地广泛,掌握好它可以方便地求许多定积分。 【例5】求 解:应用华里斯公式二, 有
§5.7 广义积分 【引例】计算曲线 按照定积分的几何意义,所求的曲边梯形面积应为 显然,这一积分再不是普通的定积分,因为它的积分上限是正无穷大。 该如何来求这一“新定积分”的值呢?首先用计算机来做一个数值试验: 编程计算 请运行matlab程序gs0504.m。 一、积分区间为无穷区间的广义积分 【定义一】 设函数 存在,则称此极限值为函数 此时,也称广义积分 如果上述极限不存在, 则称广义积分 类似地 设函数 存在,则称此极限值为函数 记作 此时,也称广义积分 类似地 设函数
同时收敛,则称上述两广义积分之和为函数 亦即
上述积分称为无穷限的广义积分。 【反例】 但
【例1】计算广义积分 解: 显然,无穷限广义积分就是任意有限区间上定积分的极限。 【例2】计算广义积分 解: 观察上述解题过程,极限符号直到最后才参与运算,为了方便,我们可以将之写成如下形式: 请注意:将上下限 这样约定,并未改变无穷限广义积分的实质,却使记号简洁了许多,且与定积分的计算程序基本上一致。 【例3】证明广义积分 解:若 若 二 无界函数的广义积分 【定义二】 设函数 如果极限 此时,也称广义积分 类似地,有 设函数 此时, 也称广义积分 类似地, 又有 设函数 如果两个广义积分 否则称广义积分 注明:上式中的 【例4】求 解: 故
注明:为了简便,上述过程也可写成 【例5】讨论 解: 故 此题若忽视 【例6】证明广义积分 解:当 广义积分 故广义积分 当 故广义积分 当 故广义积分 综合得:
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