你也许想先阅读 积分入门！

积分 可以用来求面积、体积、中点和很多其他有用的东西。我们时常用积分来求函数曲线下面的面积。像这样：

我们可以把曲线下面的面积切成一片片，当这些片的宽度趋近零时，它们面积的和便是曲线下面的面积：

也有 积分法则 来帮我们求答案。

"积分" 的符号像英语字母 "S" （源自英语 "Sum"（总和））：

把要求积分的函数（叫被积函数）放在积分符号后面，

最后放 dx 来代表积分的方向是 x（片沿 x 的宽度趋近零）。

定积分 有起点和终点：有从 a 到 b 的区间。

起点和终点的值放在"S" 符号的下面和上面，像这样：

定积分是不定积分在 a 和 b 的值的差：

2x dx 从 1 到 2 的定积分：

不定积分 是：∫2x dx = x2 + C

减：

"C" 被消去…… 所以求定积分时我们可以不理 C。

答案可以直接写为：

我们可以求那个图形（梯形）的面积来检验答案：

对了，面积是 3.

（不赖！）

再看一个例子：

cos(x) dx 从 0.5 到 1.0 的定积分：

（注意：x 的单位一定要是 弧度）

不定积分是：∫cos(x) dx = sin(x) + C

C 可以不理（如上）：

现在我们用以下的例子来表明一个论点：

sin(x) dx 从 0 到 1 的定积分：

不定积分是：∫sin(x) dx = −cos(x) + C

起点是 0，那么我们可不可以求 x=1 的值为面积？

−cos(1) = −0.540……

什么？在 x=1 的面积是负数？不，我们一定要减去积分在 x=0 的值，我们不可以假设它是零。

正确的做法是求两个值的差（C 会消去，所以不用写下来）：

像样多了！

但若曲线是在轴的下面，便真的可以有负的面积：

cos(x) dx 从 1 到 3 的定积分：

注意曲线有正的部分，也有负的部分。定积分是净面积的值。

不定积分是：∫cos(x) dx = sin(x) + C

计算：

试试用不同的起点和终点来求 cos(x) 的定积分，来更加了解有正值和负值的函数的定积分。

可是，有时我们需要 实际面积 （不减去负的部分）：

这和上面的例子差不多，不过面积是个正数 （想象你需要为它涂色）。

我们要把两个部分分开来做：

曲线在 x = π/2 经过 x轴，所以：

最后一个是负值，但我们要正值，所以：

总面积 = 0.159…… + 0.859…… = 1.018……

答案和上面的例子相差很大。

求积分的函数在 a 和 b 之间一定要是 连续 的：没有缺口、间隙或垂直渐近线（函数向上或下趋向无穷大）。

在 a 和 b 之间的垂直渐近线对定积分有影响。

把区间倒转后，定积分是原来定积分的负值。

若起点等于终点，定积分的值是零：

我们也可以把两个区间的定积分相加：

从 a 到 b 的定积分是用在 b 的不定积分减去在 a 的不定积分。