在介绍三角函数定积分计算之前 , , , 首先介绍一些有关函数对称性的基础知识

结 论 一 : 对 于 复 合 函 数 f [ u ( x ) ] , 如 果 内 层 函 数 u ( x ) 关 于 区 间 [ a , b ] 对 称 , 则 f [ u ( x ) ] 关 于 [ a , b ] 对 称 结论一: 对于复合函数f[u(x)], 如果内层函数u(x)关于区间[a,b]对称, 则f[u(x)]关于[a,b]对称 结论一:对于复合函数f[u(x)],如果内层函数u(x)关于区间[a,b]对称,则f[u(x)]关于[a,b]对称

证明: 因为 u ( x ) u(x) u(x)关于 [ a , b ] [a,b] [a,b]对称 , , , 所以 u ( x ) = u ( 2 ∗ a + b 2 − x ) = u ( a + b − x ) u(x) =u(2*\frac{a+b}{2}-x)=u(a + b-x) u(x)=u(2∗2a+b​−x)=u(a+b−x) 令 F ( x ) = f [ u ( x ) ] , F(x) = f[u(x)], F(x)=f[u(x)], 则 F ( a + b − x ) = f [ u ( a + b − x ) ] = f [ u ( x ) ] = F ( x ) F(a+b-x) = f[u(a+b-x)]=f[u(x)]=F(x) F(a+b−x)=f[u(a+b−x)]=f[u(x)]=F(x) 故 F ( x ) F(x) F(x)关于区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]对称

结 论 二 : 如 果 u ( x ) 关 于 区 间 [ a , b ] 中 心 对 称 , 则 f [ u ( x ) ] 的 对 称 性 和 外 层 函 数 f ( x ) 的 奇 偶 性 保 持 一 致 结论二: 如果u(x)关于区间[a,b]中心对称, 则f[u(x)]的对称性和外层函数f(x)的奇偶性保持一致 结论二:如果u(x)关于区间[a,b]中心对称,则f[u(x)]的对称性和外层函数f(x)的奇偶性保持一致

值得注意的是: 这里要求的是内层函数关于积分区间中心对称 , , , 而外层函数不是关于积分区间的对称性而是奇偶性

证明 u ( a + b − x ) = − u ( x ) u(a+b-x)=-u(x) u(a+b−x)=−u(x) F ( a + b − x ) = f [ u ( a + b − x ) ] = f [ − u ( x ) ] F(a+b-x) = f[u(a+b-x)]=f[-u(x)] F(a+b−x)=f[u(a+b−x)]=f[−u(x)] 当 f ( x ) f(x) f(x)为偶函数时 , , , F ( a + b − x ) = f [ − u ( x ) ] = f [ u ( x ) ] = F ( x ) , F(a+b-x)=f[-u(x)]=f[u(x)]=F(x), F(a+b−x)=f[−u(x)]=f[u(x)]=F(x), 即 F ( x ) F(x) F(x)关于 [ a , b ] [a,b] [a,b]对称 当 f ( x ) f(x) f(x)为奇函数时 , , , F ( a + b − x ) = f [ − u ( x ) ] = − f [ u ( x ) ] = − F ( x ) , F(a+b-x)=f[-u(x)]=-f[u(x)]=-F(x), F(a+b−x)=f[−u(x)]=−f[u(x)]=−F(x), 即 F ( x ) F(x) F(x)关于 [ a , b ] [a,b] [a,b]中心对称

结 论 三 : f ( x ) 关 于 区 间 [ a , b ] 对 称 , 则 ∫ a b f ( x ) d x = 2 ∫ a a + b 2 f ( x ) d x 结论三: f(x)关于区间[a,b]对称, 则\int_a^bf(x)dx=2\int_a^{\frac{a+b}{2}}f(x)dx 结论三:f(x)关于区间[a,b]对称,则∫ab​f(x)dx=2∫a2a+b​​f(x)dx

结 论 四 : f ( x ) 关 于 区 间 [ a , b ] 中 心 对 称 , 则 ∫ a b f ( x ) d x = 0 结论四: f(x)关于区间[a,b]中心对称, 则\int_a^bf(x)dx=0 结论四:f(x)关于区间[a,b]中心对称,则∫ab​f(x)dx=0

结 论 五 : 在 三 角 函 数 的 积 分 计 算 和 证 明 中 , 常 令 x = π 2 ± u 或 x = π ± u 结论五: 在三角函数的积分计算和证明中, 常令x=\frac{\pi}{2}\pm u或x=\pi \pm u 结论五:在三角函数的积分计算和证明中,常令x=2π​±u或x=π±u

结 论 六 : 有 根 号 且 根 号 内 有 平 方 的 , 一 般 使 用 三 角 换 元 结论六:有根号且根号内有平方的, 一般使用三角换元 结论六:有根号且根号内有平方的,一般使用三角换元

∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b f ( a + b − x ) d x = 1 2 ∫ a b [ f ( a + b − x ) + f ( x ) ] d x = ∫ a a + b 2 [ f ( a + b − x ) + f ( x ) ] d x \int_a^bf(x)dx = \int_a^bf(a+b-x)dx = \frac{1}{2} \int_a^b[f(a+b-x) + f(x)]dx = \int_a^{\frac{a+b}{2}}[f(a+b-x) + f(x)]dx ∫ab​f(x)dx=∫ab​f(a+b−x)dx=21​∫ab​[f(a+b−x)+f(x)]dx=∫a2a+b​​[f(a+b−x)+f(x)]dx

证明: 换元换变元 , , , 令 u = a + b − x u=a+b-x u=a+b−x ∫ a b f ( x ) d x = ∫ b a f ( a + b − u ) d ( − u ) = ∫ a b f ( a + b − u ) d u = 定 积 分 与 变 元 符 号 无 关 ∫ a b f ( a + b − x ) d x \int_a^bf(x)dx = \int_b^af(a+b-u)d(-u)=\int_a^bf(a+b-u)du \xlongequal{定积分与变元符号无关}\int_a^bf(a+b-x)dx ∫ab​f(x)dx=∫ba​f(a+b−u)d(−u)=∫ab​f(a+b−u)du定积分与变元符号无关 ∫ab​f(a+b−x)dx 令 F ( x ) = f ( a + b − x ) + f ( x ) , F(x) = f(a+b-x) + f(x), F(x)=f(a+b−x)+f(x), 可以得到 F ( x ) F(x) F(x)关于 [ a , b ] [a,b] [a,b]对称 , , , 故 1 2 ∫ a b F ( x ) d x = ∫ a a + b 2 F ( x ) d x \frac{1}{2} \int_a^bF(x)dx = \int_a^{\frac{a+b}{2}}F(x)dx 21​∫ab​F(x)dx=∫a2a+b​​F(x)dx

根据区间再现的思想 , , , 其实也可以得到一些其他的区间再现公式. 例如令 u = a b x , u=\frac{ab}{x}, u=xab​, 则有 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ b a f ( a b u ) d ( a b u ) , \int_a^bf(x)dx = \int_b^af(\frac{ab}{u})d(\frac{ab}{u}), ∫ab​f(x)dx=∫ba​f(uab​)d(uab​), 之前在一本复习书中看到过 , , , 但实际做题没怎么遇到过这种情况

计算 : ∫ 0 π 4 x c o s ( π 4 − x ) ∗ c o s x d x : \int_0^\frac{\pi}{4}\frac{x}{cos(\frac{\pi}{4}-x)*cosx}dx :∫04π​​cos(4π​−x)∗cosxx​dx

已知 f ( x ) f(x) f(x)连续 , , , 证明重要推论 : : : ∫ 0 π 2 f ( s i n x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( c o s x ) d x \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx= \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx)dx ∫02π​​f(sinx)dx=∫02π​​f(cosx)dx ∫ 0 π x f ( s i n x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( s i n x ) d x = 区 间 拆 分 + 结 论 五 π ∫ 0 π 2 f ( s i n x ) d x \int_0^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2} \int_0^{\pi}f(sinx)dx\xlongequal{区间拆分+结论五}\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx ∫0π​xf(sinx)dx=2π​∫0π​f(sinx)dx区间拆分+结论五 π∫02π​​f(sinx)dx ∫ 0 π 2 f ( s i n x , c o s x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( c o s x , s i n x ) d x \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx,cosx)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx,sinx)dx ∫02π​​f(sinx,cosx)dx=∫02π​​f(cosx,sinx)dx这个公式说明在区间 [ 0 , π 2 ] [0,\frac{\pi}{2}] [0,2π​]上 c o s x cosx cosx和 s i n x sinx sinx对换不改变定积分的值

点火公式大家都非常熟练了 , , , 这里直接介绍它的几个衍生版本 , , , 当做熟悉对称性的使用

∫ 0 π s i n n x d x : \int_0^{\pi}sin^nxdx: ∫0π​sinnxdx:复合函数由内层 s i n x sinx sinx和外层 x n . x^n. xn. 且内层函数 s i n x sinx sinx在积分区间 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上对称 , , , 故可由结论一和结论三化简 ∫ 0 π c o s n x d x : \int_0^{\pi}cos^nxdx: ∫0π​cosnxdx:复合函数由内层 c o s x cosx cosx和外层 x n . x^n. xn. 且内层函数 c o s x cosx cosx在积分区间 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上中心对称 , , , 故需要判断 x n x^n xn的奇偶性

将任意区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]化简为 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]

其实原理就是找到一个单调函数 x = f ( t ) , x=f(t), x=f(t), 使得 f ( 0 ) = a , f ( 1 ) = b f(0)=a, f(1)=b f(0)=a,f(1)=b

类比通过两点 ( a , 0 ) , ( b , 1 ) (a,0),(b,1) (a,0),(b,1)建立直线方程 , , , 得到公式 x − a b − a = t − 0 1 − 0 , \frac{x-a}{b-a} = \frac{t-0}{1-0}, b−ax−a​=1−0t−0​,即 x = a + ( b − a ) ∗ t x=a+(b-a)*t x=a+(b−a)∗t

计 算 : ∫ a b ( x − a ) ( b − x ) d x = ( b − a ) 2 8 π 计算:\int_a^b \sqrt{(x-a)(b-x)}dx=\frac{(b-a)^2}{8}\pi 计算:∫ab​(x−a)(b−x) ​dx=8(b−a)2​π

将任意区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]化简为 [ − π 2 , π 2 ] [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] [−2π​,2π​]

类似上面的方法得到 x − a b − a = t + π 2 π , \frac{x-a}{b-a} = \frac{t+\frac{\pi}{2}}{\pi}, b−ax−a​=πt+2π​​, 化简后得到 x = a + b 2 + b − a 2 2 π t x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\frac{2}{\pi}t x=2a+b​+2b−a​π2​t 我们知道有根号且根号内有平方的 , , ,一般使用三角换元 , , ,例如 ∫ a 2 ± x 2 d x \int\sqrt{a^2\pm x^2}dx ∫a2±x2 ​dx和 ∫ 1 a 2 ± x 2 d x , \int\frac{1}{\sqrt{a^2\pm x^2}}dx, ∫a2±x2 ​1​dx, 因此使用 s i n t sint sint替换 t , t, t,但二者在 [ − π 2 , π 2 ] [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] [−2π​,2π​]上表示的范围并不相等 , , , 因此需要乘上系数 k k k保证二者范围相同. 而在 [ − π 2 , π 2 ] [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] [−2π​,2π​]上sint的范围恰好是 2 π t \frac{2}{\pi}t π2​t的范围 , , , 因此公式变为 x = a + b 2 + b − a 2 s i n t x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}sint x=2a+b​+2b−a​sint

其实公式1的简化最后还是用到了三角换元 , , , 只是因为基本积分公式里面有 ∫ a 2 − x 2 d x , \int\sqrt{a^2- x^2}dx, ∫a2−x2 ​dx, 所以使用 t t t即可

计 算 : ∫ a b 1 ( x − a ) ( b − x ) d x = π 计算: \int_a^b\frac{1}{ \sqrt{(x-a)(b-x)}}dx=\pi 计算:∫ab​(x−a)(b−x) ​1​dx=π

F ( x ) = ( x − a ) ( x + a ) 为 偶 函 数 ; F(x) = (x-a)(x+a)为偶函数; F(x)=(x−a)(x+a)为偶函数; 根 据 偶 函 数 ∗ 偶 函 数 = 偶 函 数 , 偶 函 数 ∗ 奇 函 数 = 奇 函 数 , 可 以 推 广 如 下 形 式 : 根据偶函数*偶函数=偶函数, 偶函数*奇函数=奇函数, 可以推广如下形式: 根据偶函数∗偶函数=偶函数,偶函数∗奇函数=奇函数,可以推广如下形式: F ( x ) = ∏ i = 1 N ( x − i ) ( x + i ) 为 偶 函 数 , G ( x ) = ∏ i = 1 N ( x − i ) ( x + i ) x 为 奇 函 数 , 给 出 几 个 相 关 的 函 数 图 像 F(x) =\prod_{i=1}^N(x-i)(x+i)为偶函数, G(x) =\prod_{i=1}^N(x-i)(x+i)x为奇函数, 给出几个相关的函数图像 F(x)=∏i=1N​(x−i)(x+i)为偶函数,G(x)=∏i=1N​(x−i)(x+i)x为奇函数,给出几个相关的函数图像 奇函数

偶函数 将其整体向左平移 , , , 函数可能会变成 F ( x ) = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) , F(x) = x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4), F(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4), 此时为关于 x = − 2 x=-2 x=−2中心对称的函数