高等数学:第五章 定积分(6) 广义积分 |
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§5.7 广义积分 【引例】计算曲线 按照定积分的几何意义,所求的曲边梯形面积应为 显然,这一积分再不是普通的定积分,因为它的积分上限是正无穷大。 该如何来求这一“新定积分”的值呢?首先用计算机来做一个数值试验: 编程计算 请运行matlab程序gs0504.m。 一、积分区间为无穷区间的广义积分 【定义一】 设函数 存在,则称此极限值为函数 此时,也称广义积分 如果上述极限不存在, 则称广义积分 类似地 设函数 存在,则称此极限值为函数 记作 此时,也称广义积分 类似地 设函数
同时收敛,则称上述两广义积分之和为函数 亦即
上述积分称为无穷限的广义积分。 【反例】 但
【例1】计算广义积分 解: 显然,无穷限广义积分就是任意有限区间上定积分的极限。 【例2】计算广义积分 解: 观察上述解题过程,极限符号直到最后才参与运算,为了方便,我们可以将之写成如下形式: 请注意:将上下限 这样约定,并未改变无穷限广义积分的实质,却使记号简洁了许多,且与定积分的计算程序基本上一致。 【例3】证明广义积分 解:若 若 二 无界函数的广义积分 【定义二】 设函数 如果极限 此时,也称广义积分 类似地,有 设函数 此时, 也称广义积分 类似地, 又有 设函数 如果两个广义积分 否则称广义积分 注明:上式中的 【例4】求 解: 故
注明:为了简便,上述过程也可写成 【例5】讨论 解: 故 此题若忽视 【例6】证明广义积分 解:当 广义积分 故广义积分 当 故广义积分 当 故广义积分 综合得:
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