高等数学:第四章 不定积分(2)换元积分法 |
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§4.2 换元积分法 一、第一类换元法 设具有原函数,即 , 。 若又是另一新变量的函数, 且可微,由复合函数的微分法有 ,从而 综合上述讨论,有 【定理一】设具有原函数,可导,则有换元积分公式 这个定理表明:欲求不定积分,可令,则不定积分化为,它将原来的积分变量换成了新的积分变量,求出不定积分之后,再把代换回去。 【例1】求下列不定积分 1、, 2、, 3、 解1 令 , , 。 解2 令 , , 。 解3 令 , , 。 由上面的解题可发现,变量只是一个中间变量,在求不定积分的过程中,只是起过渡作用,最终都要换回到原来的积分变量。因此,在较熟练之后,可以采用不直接写出中间变量的做法。 例如: 研究这些解法可观察到一个非常鲜明的特点: 将被积表达式凑成某个函数的微分形式,再利用积分运算与微分运算的互逆性,达到求不定积分的目的。 因此,第一类换元法又俗称为“凑微分法”。 【典型例题】 求不定积分 。 解: 由复合函数求微分的脱衣原理, 有 于是我们有下述典型的凑微分过程:
显而易见,凑微分过程与用脱衣原理求复合函数微分过程是完全相反的。因此,凑微分的过程可视为运用“穿衣原理”进行穿衣的过程 --- 即:后脱的衣服应先穿(或:先脱的后穿)。 一般来说,小孩子是先学会脱衣服,再学会穿衣服。这是由于穿衣服有个次序问题。因此,用凑微分法求不定积分较用脱衣原理求复合函数的导数要困难得多。 【例2】求 解: 【例3】求 解: 二、第二类换元法 第一类换元法: 有时会遇到相反情形: 显然,这类换元公式成立需要一定的条件,我们来探讨一下它所需要条件。 (1)、代换应可导; (2)、等式右端的不定积分要存在,即存在着原函数; (3)、求出后,必须用的反函数代回去,这样,需要函数具有反函数。 【定理二】若 1、是单调函数; 2、可导, 且; 3、具有原函数 则有换元公式 其中: 是 的反函数。 【证明】 令 , 则 , 这表明: 是的原函数, 于是有: 【例4】求 解:令 【例5】求 解: 令 , , 这里:
对此例,我们给出两点注解: 1、对于第二类换元法,求反函数是一个麻烦的地方,往往需要一定的技巧。上例的反函数不能简单地用,并将它代入中,得到 这个“形式过重”表达式,因为它不便应用。 2、这一不定积分是一个重要的积分公式。 第二类换元法有一个十分有用的代换 —— 倒置代换。这一代换处理某些不定积分功效显著 (用它可消去被积函数的分母中的因子, 特别是幂次为偶数的情形)。 【例6】求 解: 令 最后,我们指出:使用变量替换求不定积分,关键是选择恰当的替换,这需要经验。记往! 不适宜的替换会使问题弄得愈来愈复杂。
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