微积分的本质(七):导数和极限的定义、洛必达法则 |
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1.导数的正式定义 在 t t t 的位置对函数 f ( x ) f(x) f(x) 求导: d f d x ( t ) = lim h → 0 f ( t + h ) − f ( t ) h \frac{df}{dx}(t)=\displaystyle{\lim_{h \to 0}}\frac{f(t+h)-f(t)}{h} dxdf(t)=h→0limhf(t+h)−f(t) h h h 其实等价于 d x dx dx , d x dx dx用来表示函数 f f f取值的具体有限小的变化量。 讨论极限,讨论的是变量逼近于0时的影响,而不是无穷小的变化量的影响。 2.极限的
(
ϵ
,
δ
)
(\epsilon,\delta)
(ϵ,δ)定义 函数
f
(
h
)
=
(
2
+
h
)
3
−
2
3
h
f(h)=\frac{(2+h)^3-2^3}{h}
f(h)=h(2+h)3−23的图像如下: 逼近的定义:对于x=0附近的一些取值,当取值范围在0附近不断缩小时,函数范围越来越接近12 极限存在:总能在极限点附近,离这一点距离为 δ \delta δ的取值范围内,找到一系列取值点,使得这范围内的任一个取值点,其函数值都在到某个值的距离为 ϵ \epsilon ϵ的范围之内。这种情况,对任意 ϵ \epsilon ϵ都成立。无论 ϵ \epsilon ϵ多么小,总能找到与之对应的 δ \delta δ值。 下图是一个极限不存在的一个例子:找到一个足够小的
ϵ
\epsilon
ϵ,例如0.04,无论
δ
\delta
δ多么小,对应的函数值,都不能完全位于两个
ϵ
\epsilon
ϵ构成的区间内,找不到任何可以逼近的极限值,所以极限不存在。 下面分别给出分子
sin
(
π
x
)
\sin(\pi{x})
sin(πx) 和分母
x
2
−
1
x^2-1
x2−1 的函数图像
同理得 d ( x 2 − 1 ) = 2 x d x = 2 d x d(x^2-1)=2xdx=2dx d(x2−1)=2xdx=2dx 则有 lim x → 1 sin ( π x ) x 2 − 1 = − π d x 2 d x = − π 2 \displaystyle{\lim_{x \to 1}}\frac{\sin(\pi{x})}{x^2-1}=\frac{-\pi dx}{2dx}=\frac{-\pi}{2} x→1limx2−1sin(πx)=2dx−πdx=2−π 所以当 x x x逼近于1时,这个极限的精确值为 − π 2 \frac{-\pi}{2} 2−π 一般地,考虑任意两个函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)和
g
(
x
)
g(x)
g(x),它们在
x
=
a
x=a
x=a处可导,且
g
(
a
)
=
f
(
a
)
=
0
g(a)=f(a)=0
g(a)=f(a)=0 ,如何计算
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
\displaystyle{\lim_{x \to a}}\frac{f(x)}{g(x)}
x→alimg(x)f(x)的值? 因为
g
(
a
)
=
f
(
a
)
=
0
g(a)=f(a)=0
g(a)=f(a)=0 ,所以并不能直接计算
f
(
a
)
g
(
a
)
\frac{f(a)}{g(a)}
g(a)f(a)的值。因此,我们要求
x
x
x逼近于
a
a
a时的极限值。 两个函数在
x
=
a
x=a
x=a处都可导,意味着在无限放大之后,他们可以被看作是直线。如下图: 考虑一个到 x = a x=a x=a的距离为 d x dx dx的点,对函数 f ( x ) f(x) f(x),该点的函数值,非常接近该点的导数值和 d x dx dx的乘积,即 d f d x ( a ) d x \frac{df}{dx}(a)dx dxdf(a)dx. 同理,对函数 g ( x ) g(x) g(x),这个值大约是 d g d x ( a ) d x \frac{dg}{dx}(a)dx dxdg(a)dx. 当 d x dx dx越小的时候, d f d x ( a ) d x \frac{df}{dx}(a)dx dxdf(a)dx和 d g d x ( a ) d x \frac{dg}{dx}(a)dx dxdg(a)dx就越接近 x = a x=a x=a的函数值,甚至可以等同于极限的精确值,则有 lim x → a f ( x ) g ( x ) = d f d x ( a ) d x d g d x ( a ) d x = d f d x ( a ) d g d x ( a ) \displaystyle{\lim_{x \to a}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{df}{dx}(a)dx}{\frac{dg}{dx}(a)dx}=\frac{\frac{df}{dx}(a)}{\frac{dg}{dx}(a)} x→alimg(x)f(x)=dxdg(a)dxdxdf(a)dx=dxdg(a)dxdf(a) 当要计算 0 0 \frac{0}{0} 00型函数的极限的时候,可以使用这个技巧,对分子分母分别求导,并代入极限点的取值。 这一技巧就叫做洛必达法则。 回顾一开始对导数的定义: d f d x ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h \frac{df}{dx}(\textcolor{red}x)=\displaystyle{\lim_{h \to 0}}\frac{f(\textcolor{red}x+h)-f(\textcolor{red}x)}{h} dxdf(x)=h→0limhf(x+h)−f(x) 本质上就是计算 0 0 \frac{0}{0} 00型函数的极限,那是不是就可以使用洛必达法则暴力求解了呢?很遗憾,如果不知道分子的导数,则无法使用洛必达法则。因此,洛必达法则的一个应用前提就是——分子分母都可导。 参考资料: 【官方双语】微积分的本质 - 07 - 极限. |
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