在求解这道题的时候一定要注意条件的选取，不然很容易出错！下面我们先给出这道题的一种错误解法（也是我们最容易犯的错误）；然后再给出正确解法。

❎错解：

证：因为\left| {\frac{{3{n^2}}}{{{n^2} - 3}} - 3} \right| = \frac{9}{{{n^2} - 3}} \le \frac{9}{n}{\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (1)

所以对 \forall \varepsilon > 0,只要 n < \frac{9}{\varepsilon }，便有\left| {\frac{{3{n^2}}}{{{n^2} - 3}} - 3} \right| < \varepsilon {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (2)

即当n > \frac{9}{\varepsilon }时,(2)式成立.

所以N \le \frac{9}{\varepsilon }.

故对 \forall \varepsilon > 0，取 N \le \frac{9}{\varepsilon }，当 n>N时，有\left| {\frac{{3{n^2}}}{{{n^2} - 3}} - 3} \right| < \varepsilon成立.

于是本题得证.

在证明的时候，我们要进行适当的放缩，从而找到一个合适的N，使得定义中的式子成立；但是在放缩的时候，我们也要注意范围，就比如今天这道题目中，在放缩的时候还满足n \ge 3这个条件，那么在最后N的选取就一定要考虑这个条件。这也是我们做题时最容易忽略的一点，一定要注意❗️❗️❗️

✅正解：

证：因为\left| {\frac{{3{n^2}}}{{{n^2} - 3}} - 3} \right| = \frac{9}{{{n^2} - 3}} \le \frac{9}{n}{\kern 1pt} (n \ge 3){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (1)

所以，对 \forall \varepsilon > 0,只要 n < \frac{9}{\varepsilon }，便有\left| {\frac{{3{n^2}}}{{{n^2} - 3}} - 3} \right| < \varepsilon {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (2)

即当 n > \frac{9}{\varepsilon }时,(2)式成立.

又由 {n^2} - 3 \ge n可得：n < \frac{{1 - \sqrt {13} }}{2} 或 n > \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}.

而n是正整数，所以 n 的范围为n \ge 3.

故(1)式是在 n \ge 3的条件下成立的.

综上所述，对 \forall \varepsilon > 0，取 N = \max \left\{ {3,\frac{9}{\varepsilon }} \right\}，当 n>N时，有\left| {\frac{{3{n^2}}}{{{n^2} - 3}} - 3} \right| < \varepsilon成立.

于是本题得证.