如图.在半径为6.圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上.有一个动点P.PH⊥OA.垂足为H.△OPH的重心为G．(1)当点P在AB上运动时.线段GO.GP.GH中.有无长度保持不变的线段?如果有.请指出这样的线段.并求出相应的长度,(2)设PH=x.GP=y.求y关于x的函数解析式.并写出函数的定义域,(3)如果△PGH是等腰三角形.试求出 题目和参考答案――青夏教育精英家教网―― |
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如图.在半径为6.圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上.有一个动点P.PH⊥OA.垂足为H.△OPH的重心为G．(1)当点P在AB上运动时.线段GO.GP.GH中.有无长度保持不变的线段?如果有.请指出这样的线段.并求出相应的长度,(2)设PH=x.GP=y.求y关于x的函数解析式.并写出函数的定义域,(3)如果△PGH是等腰三角形.试求出 题目和参考答案――青夏教育精英家教网――
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（2000•上海）如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．
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【答案】分析：（1）由题意可知：重心是三角形中线交点，它把中线分为1：2的比例，如果中线长度不变，题中的三线段长度也不变．在直角三角形OHP中PO是直角三角形OPH的斜边，也是半径是保持不变的所以线段GH保持不变；则根据直角三角形中斜边的中线是斜边的一半可以求得OP中线的长度，进而求得GH的长度；（2）延长PG交OA于C，则y= ×PC；分别再直角三角形OPh和直角三角形PHC中运用两次勾股定理即可以求出y关于x的函数解析式；（3）分别讨论GH=PG，GH=PH，PH=PG这三种情况，根据（2）中的解析式可以分别求得x的值．解答：解：（1）当然是GH不变．延长HG交OP于点E，∵G是△OPH的重心，∴GH= EH，∵PO是半径，它是直角三角形OPH的斜边，它的中线等于它的一半；∴EH= OP∴GH= （ OP）= （ ×6）=2；（2）延长PG交OA于C，则y= ×PC．我们令OC=a=CH， 在Rt△PHC中，PC= = ，则y= × ；在Rt△PHO中，有OP2=x2+（2a）2=62=36，则a2=9- ，将其代入y= × 得y= × = （0＜x＜6）；（3）如果PG=GH，则y=GH=2，解方程：x=0，那GP不等于GH，则不合意义；如果，PH=GH=2则可以解得：x=2；如果，PH=PG，则x=y代入可以求得：x= ，综合上述线段PH的长是 或2．点评：本题考查了重心的概念以及直角三角形与等腰三角形的性质．综合性比较强，有一定的难度．
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