第十七讲 连续函数的运算与初等函数的连续性

定理1 （连续的四则运算法则） 

    设函数f(x)和g(x)在点x0连续, 则函数f(x)±g(x), f(x)×g(x),(当时)在点x0也连续.

    f(x)±g(x)连续性的证明:

    因为f(x)和g(x)在点x0连续, 所以它们在点x0有定义, 从而f(x)±g(x)在点x0也有定义, 再由连续性和极限运算法则, 有

.

    根据连续性的定义,  f(x)±g(x)在点x0连续.

例 sin x 和cos x 都在区间(-¥, +¥)内连续,故由定理1知 和cot x 在它们的定义域内是连续的.

    三角函数sin x, cos x, sec x, csc x, tan x, cot x在其有定义的区间内都是连续的.

    定理2（反函数的连续性） 如果函数f(x)在区间Ix 上单调增加(或单调减少)且连续, 那么它的反函数x=f -1(y)也在对应的区间Iy ={y|y=f(x),xÎIx}上单调增加(或单调减少)且连续.

    例 由于y=sin x在区间上单调增加且连续, 所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1, 1]上也是单调增加且连续的.

    同样,y=arccos x 在区间[-1, 1]上也是单调减少且连续; y=arctan x 在区间(-¥, +¥)内单调增加且连续;y=arccot x 在区间(-¥, +¥)内单调减少且连续.

    总之, 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的.

    定理3 （复合函数的连续性） 设函数y=f[g(x)]由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成, 若函数u=g(x)在点x0连续, 函数y=f(u)在点u0=g(x0)连续, 则复合函数y=f[g(x)]在点x0也连续.

    例 讨论函数的连续性.

    解 函数是由y=sin u及复合而成的.

    sin u当-¥