一、《信号与系统》核心问题之——响应的求解

《信号与系统》核心问题之一就是求解系统的各大响应，经常见到的响应有自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应、稳态响应、暂态响应、冲激响应和阶跃响应，前6种响应都是完全响应的不同分解方式，因此六者之间有着千丝万缕的关系；而后两者是系统的固有属性，一般用于表征系统，尤其是冲激响应。

二、完全响应的求解方法

1、完全响应（全解）=自由响应（齐次解）+强迫响应（特解）；

2、完全响应=零输入响应+零状态响应；

3、完全响应=稳态响应+暂（瞬）态响应；

4、如上所述，完全响应可以分解为3种形式，即三种形式相加都是完全响应，也就意味着稳态响应+暂态响应=零输入响应+零状态响应=自由响应+强迫响应。可见在求解6种响应的时候，是可以借助于他们之间的关系来求解，无需分别独立求解，同时每种响应的求解难度各有不同，所以希望大家在掌握了各自求解的方法之上的基础上来总结时域方法，一般不管时域方法还是变换域方法均是求零输入+零状态，然后通过关系获取其他4种响应。

三、齐次解与特解的应用（时域求解各响应的知识必备）

1、题干：微分方程、激励、起始状态（谷哥将其称为连续系统三要素）

1）微分方程：左边：响应及其各阶导数的线性组合

                       右边：激励及其各阶导数的线性组合

2）激励：一般都是因果信号，t＜0时为0，即激励都是自带u(t)

3）起始状态：完全响应及其各阶导数在0-时刻的值

1、齐次解（自由响应）步骤（微分方程右边为0的解）

2、特解（强迫响应）步骤（易错点）

3、完全响应=自由响应+强迫响应（由于自由响应中含有待定系数，故使得完全响应中仍然含有自由响应中的待定系数）

4、0-到0+跳变——冲激函数匹配法（迷踪步般的让人傻傻学不清楚~~~）

1）跳变的原则：自由项（请看特解第一步）中是否包含冲激信号或其各阶导数，若包含则跳变，若不包含则不跳变；

其实不管跳变不跳变都可以写成0+的值等于0-的值加一个常数，无非就是常数是不是0的问题，跳变则常数不为0，不跳变常数为0

2）跳变的解读：若跳变但不一定处处跳变，即上图中k对关系式中肯定有不相等（跳变）的，但不一定是每一组都不相等，只有k对里有跳变但不一定是处处跳变。

3）不跳变：（0+的值 ）  等于 （0-的值） 

4）跳变求解：

跳变就需要求跳变了多少，即常数ai是多少

冲激函数匹配法——列方程组

自由项中冲激最高阶导数一定在左边响应最高阶导数项中

（1）第一个式子：响应的最高阶导数项表达式：（横向列写到出现△u(t)为止）

（2）第二个式子：对第一个式子左右两边依次求积分

。。。。

纵向上式子一直列写到r(t)

根据冲激函数匹配法列写的方程，分别求出需要的跳变常数，然后利用求得的0+时刻的值求解自由响应中的待定系数

5、经典法求完全响应的流程

根据该流程可以看到，如果用经典法求系统完全响应，先3+5后跳变求0+最后求系数得最终结果。

四、零输入响应和零状态响应

1、双零法：系统完全响应是由外加激励和0-起始储能引起的，也就是说激励可以单独引起一部分响应，0-起始储能可以单独引起一部分响应；

2、零输入响应：零输入啊零输入就是没有输入，没有激励那零输入响应肯定是由0-起始储能单独引起的那部分响应。。定义就这样直白的记住了。。这就是直白的学习方式。。

3、零状态响应：零状态啊零状态就是没有0-起始储能，没有0-起始储能那零状态响应肯定是由外加激励单独引起的那部分响应。。

4、零输入响应的求解——齐次解形式（因为零输入与激励无关，所有方程右边为0）

1）三步写出齐次解形式；

2）零输入的0+等于完全响应的0-；

3）求待定系数得答案。

5、零输入响应的流程（时域求响应时求零输入是最为简单的）

6、零状态响应的流程（和完全响应的流程一样，唯一不一样的就是跳变前0-都是0，因为这里的0-指的是零状态的0-，而不是完全响应的0-）

五、完全响应分解之关系

1、三种响应分解与关系

2、求6种响应的步骤

1）求零输入和零状态

2）完全响应=零输入+零状态

3）完全响应中与特征根有关的就是自由响应，剩余部分就是强迫响应（强迫响应只存在于零状态里面）

4）当t趋于∞时完全响应中趋于0的部分位暂态响应，剩余部分为稳态响应。