常微分方程解的存在唯一性定理, 也叫 Picard–Lindelöf 定理、Picard 存在性定理、Cauchy–Lipschitz 定理, 说的是在一定条件下, 常微分方程的初值问题存在唯一的局部解.

定理 1.1 (常微分方程解的存在唯一性定理). 对于初值问题⎩⎨⎧​dtdx​=f(x,t),x(t0​)=x0​,​如果 f(x,t) 在矩形闭区域 D={(x,t)∣∣t−t0​∣≤a,∥x−x0​∥≤b} 上连续, 并且在 D 中对 x 满足 Lipschitz 条件: ∥f(x,t)−f(y,t)∥≤L∥x−y∥,(x,t),(y,t)∈D,令 M=maxD​∥f∥,h=min{a,b/M}, 则在 [t0​−h,t0​+h] 上上述初值问题存在唯一的解.

证明. 我们将说明这只是压缩映射定理的推论. 为此, 我们要证明初值问题的解是一个空间上某个压缩变换的不动点. 令 h∗=min{h,1/L}. 我们取空间 B=C[t0​−a,t0​+a], 即 [t0​−a,t0​+a] 上一切连续函数构成的空间, 按极大值范数 ∥u∥:=max[t0​−h∗,t0​+h∗]​∣u∣ 构成一个 Banach 空间. 一个序列在这个空间中收敛等价于一致收敛. 然后我们在 B 上定义 Picard 映射 A:B→B, (Aϕ)(t)=x0​+∫t0​t​f(ϕ(t),t)dt,ϕ∈B,则如果 Aϕ=ϕ, 则ϕ′(t)=f(ϕ(t),t),ϕ(t0​)=x0​,即 ϕ 是初值问题在区间 [t0​−h∗,t0​+h∗] 上的解; 反之通过对初值问题的任一 [t0​−h∗,t0​+h∗] 上的解积分也可知它是 Picard 映射的不动点.

下面只要验证 A 是压缩映射. 设 ϕ,ψ∈B, 则∣(Aϕ−Aψ)(t)∣​=∣∣​∫t0​t​(f(ϕ(t),t)−f(ψ(t),t))dt∣∣​≤∣∣​∫t0​t​∣f(ϕ(t),t)−f(ψ(t),t)∣dt∣∣​≤L∣t−t0​∣∥ϕ−ψ∥≤Lh∗∥ϕ−ψ∥,​故∥Aϕ−Aψ∥≤Lh∗∥ϕ−ψ∥,因为 Lh∗