许卫兵:《整体建构 简教深学 |
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代数,从本质上讲,它要跳出“具体”,走向“一般”,即将所有的“具体”情况进行概括性的表达,这种概括性表达中实质上包含了所有的具体情况。因此,“用字母表示数”在数学发展史上具有里程碑的意义,它是人类数学思维(化繁为简、以简驭繁)十分突出的表现。对小学生而言,必然也是一次思维上的重大突破和飞跃,需要一次基于先前基础又超越先前学习的重构——从“具体”走向“概括”,用“概括”来表达“具体”。 [教学过程] 一、课前谈话,做好铺垫 师:有人说,数学是让人聪明的学科。学数学的人都有这样的本领—— (出示)把复杂的事情变( ), 把简单的事情变得( )。 学生回答“简单”“更简单”后,老师用成语“化繁为简”来概括。 思考:课前三分钟,也要用真功。小小的两句填空,“未成曲调先有情”,一下子把学生的思维视角引向简化、概括等本课学习的核心要素上来。 二、直观操作,引出话题 老师用小棒在黑板上摆三角形,边摆边让学生观察三角形的个数和小棒的根数,摆好四个三角形后—— 师:这样摆,你们觉得有意思吗? 生:没意思。因为你接下去就会摆第5个、第6个。 师:能摆完吗? 生:不能。 师:摆不完,咋办? 生:用省略号。 师:(板书:……)孩子们,一个省略号,就把所有没摆出来的情况都包括进去了。这就是把复杂的事情—— 生:变简单! 师:这么一来,我想到一个问题出来了。(出示) 生齐读题。 师:你觉得难吗? 生:不难。 师:说不难,有时也——(难)。说难有时也——(不难)。动笔填一填吧,看看谁填的水平高。 思考:用简单的操作活动开课,简洁,直观,清晰,起点很低,但由于问题的开放性,为后续学习留出了很大悬念。 三、展示交流,聚焦概括 1.展示一:摆(1)个三角形用(3)根小棒。 师:这个孩子填的是1和3,同意吗? 板书:1 3 2.展示二:摆(5)个三角形用(15)根小棒。 师:这个孩子填的是5和15,同意吗?评价一下他的水平。 生:我同意他的填法,数字大了,水平高了。 师:哦,你的想法是,谁写的数字大,谁的水平就高。如此想来,还有水平在这两个孩子之间的啦? 生:2、6;3、9;4、12。 (在“1、3”与“5、15”之间补上板书:2 6;3 9;4 12) 师:我好想看看有没有谁填写的数超过15的。 生:我填的是2000、6000 3.展示三:摆(2000)个三角形用(6000)根小棒。 师:同意吗?(同意!)你这水平太高了!好了,孩子们,你发现了吗,这道题到底有多少种填法? 生:无数种。 师:那你说我有必要写下去吗? 生:没有必要,用省略号。 师:(板书:……)小小省略号,作用无限大。 师:(指板书)你们觉得现在把答案写全了吗? 生:写全了。 师:刚才大家都认为,数字写得大,水平就高。现在有什么想说的? 生:数字大,水平固然高,但是,写全了水平更高。 4.展示四:摆(n)个三角形用(n×3)根小棒。 师:这位同学用了英文字母n,请说一说你这个n想表示谁? 生1:(上台指着1、2、3、4……)n表示这里所有的数。 师:你的意思是说,写这么多数,还要加省略号才能把它写全了,太麻烦了,我直接写个n不就好了吗。 生点头。 师:孩子们,这种想法有没有道理啊?(有)那你想想看,他后面写得是什么? 生:n×3。 师:n×3啥意思?有人看懂吗? 生:因为1个三角形要用3根小棒来摆,所以n个三角形就要用n×3根小棒来摆。 师:(问生1)你是这么想的吗? 生:是的。 师:好玩了,请问你怎么知道是乘3的?刚才咱们碰到乘3了吗? 生:碰到了。 师:哪里用上了?比如:6怎么来的? 生:2×3。 师:请问,n×3代表哪些数呢? 生:3、6、9、12……。 师:俗话说,千金难买回头看。我们回过头来看看,我们一开始解决这个问题的时候,大家脑子里总是先想到什么呢? 生:数据。 师:是一种情况一种情况的具体数据。我们以前研究的数学就是这样的,要用具体数据来解决问题。对不? 生点头。 师:这些情况我们可以称之为“具体”情况(板书:具体)。比如说,第一个孩子想到的是哪一种具体情况? 生:摆1个三角形情况,用3根小棒。 师:第二组数据讲的是哪一种具体情况? 生:摆2个三角形的情况,用6根小棒。 师:第三行呢? 生:摆3个三角形的情况,用9根小棒。 师:对!对!对!这一组一组的两个数,都是在说一种一种的具体情况。我们从一年级到现在,是不是都这么玩过来的? 生点头。 师:跟一个个具体情况相比,这个孩子的写法(指“n”“n×3”)有什么最大的不同? 生:这个n和n×3把所有的情况都包括进来了。 师:(双手做包围的动作)一网打尽了是吧。 生哈哈大笑。 师:跟具体情况相比,这个同学的创意,你觉得这种情况叫做什么情况呢?找个词来表达一下,考考你们的语文水平。 生:可以叫用字母代替数字。 师:你再说一遍,我把它写下来,改一个词,用字母表示数,一共6个字。就是用字母来代替所有的情况。 数学要把复杂的事情变简单,那这6个字能用一个词把它的意思表达出来吗? 生:字母代数。 师:变成4个字了。 生:大概。 师:大概情况,那叫具体情况,这叫大概情况。孩子们,顺着他的想法,我给一个词好不好?(板书:概括。) 生:概括。 师:上面的是具体情况,这就叫概括情况。也就是说,我们一开始都是习惯去想一个一个的具体情况,但是想到最后能把这些情况想完吗?想不完,就用省略号表示,这个孩子用了字母概括以后就把所有情况都包括进来了。 是啊,这个孩子带给我们一个新的世界,就是让我们从具体走向了什么? 生:概括。 师:那我问问大家,你觉得这个n可以代表谁?举个例子。 生:1、2、3…… 师:也就是说这里的n就是代表着这里的1、2、3、4…… 在“具体”和“概括”之间加上双箭头,板书如下: 师:孩子们,有一句话是这么讲的:聚是一团火,散是满天星。从具体走向概括一个字母就可以搞定了,好比—— 生:(齐)聚是一团火! 师:但是,用字母概括后又能回到所有的具体,好比—— 生:(齐)“散是满天星”! 师:无论是具体情况还是概括情况,它们之间有什么联系吗? 生:倍数关系没变。 师:是啊,二者的数量关系是不变的。难怪有人说:数学很奇妙,关系最重要;不比不知道,一比有玄妙。 (生重复一遍:数学很奇妙,关系最重要。不比不知道,一比有玄妙。) 师:咱们以前有见过这么填答案的吗?(学生摇头)以前我们都是只填一个结果,所以像这种情况,它有字母有符号还有数,我们一般把它叫做字母式。所以,它是用字母来代表三角形的个数,它就是用字母式来代表小棒的根数。我们是不是应该好好谢谢这位同学? 学生鼓掌! 师:这位同学一下子把我们带到了新的世界,开了眼界了,打开窗户了,我也谢谢他。 现在如果你也用字母来表示的话,是不是也用n? 生1:不一定,我用x。 生2:我用a。 生3:所有的字母都可以用。 师:如果你用a的话,后面就是—— 生:a×3。 师:如果你用b的话,后面就是—— 生:b×3。 师:如果前面填a,后面填b,行不行? 生:不行。 师:为什么不行? 生:同样的字母要代表同样的数字。 师:什么没有说清楚呢? 生:关系。 师:如果前面填a,后面填b,还告诉你,b就是3个a,行吗?。 生:行是行啊,但是,这不是把简单的东西玩的复杂了吗? 思考:学习的过程,是学生认知基础与新知相互协动、整体建构的过程。本环节从学生习惯性的思维方式出发,在对多种填法的概括性表达中,获得了对字母表示数的价值意义的直接感受。在教师的引导下,“从具体走向概括,用概括来代替具体”的核心本质得以轻松地浮现。 四、变换情境,加深体验 四、变换情境,加深体验师:(拿出一瓶饮料)这瓶饮料有300毫升,如果我们喝去一部分,就会剩下一部分。我们什么时候就遇到过这样的问题呢? 板书:330毫升饮料,喝去( )毫升,还剩( )毫升。 生:三年级。 生:二年级。 生:一年级。 师:咱们一年级就学啦,比如,我有5个饼,吃去2个饼,还剩—— (老师拧开瓶盖,请一名学生上台喝了一口) 师:好喝吗? 生:好喝。 师:哈哈,那可不能白喝,请问:你喝去( )毫升,还剩( )毫升。 生1:我用x表示,我喝去x毫升,因为我们没有测量到底喝了多少。 师:剩下的谁来填? 生2:喝去x毫升,还剩x毫升。 生3:应该是其它的一个字母,y表示。 生4:我认为应该是300-x。 师:哪个答案更好? 生:300-x。 师:为什么?我觉得y也蛮好的。 生:因为y没有能表示它们之间的关系。 师:是的,孩子们。数学很奇妙—— 生:关系最重要。 师:我们以前也是这么减的。只是以前减的时候,都是用具体数减出一个具体的结果,今天,用了字母代替数,只能用字母或字母式来代替答案了。 (板书字母式) 师:请问这里的x可以代表什么? 生:300以下的数。 师:假使x等于20,剩下多少? 生:280。 师:假使x等于50毫升。 生:还剩250。 师:假使x是0,说明什么? 生:说明他没喝。 师:x要是300呢? 生:全部喝完了。 师:对比一下,哪些是概括的情况,哪些是具体的情况。 生:300-x是概括的情况,300-20=280、300-50=250、300-0=300、300-300=0都是具体的情况。 师:谁再来喝一口?你要比刚才的那个男孩喝的多一点。(生喝完) 出示:300毫升饮料,第一次喝去x毫升,第二次喝去y毫升。 两次一共喝了( )毫升。 剩下( )毫升。 第二次比第一次多( )毫升。 师:会解决吗? 生:两次一共喝了(x+y)毫升。 生:还剩下(300-x-y)毫升。 生:第二次比第一次多喝了(y-x)毫升。 师:简单吗?(简单)为什么简单? 生:因为有字母代替。 生:因为数量关系没有变。 师:数学很—— 生:数学很奇妙,关系最重要! 师:经过刚才的学习,我们发现今天的学习好像要翻篇了。因为字母的引入,使得我们解决数学的问题变得一下子怎么样? 生:简单。 师:这就是叫把复杂的问题变简单,下面还有一句话是怎么讲的? 生:把简单的问题变得更简单。 思考:南京大学郑毓信教授提出:“要将数学思维的学习与具体数学知识内容的学习很好地结合起来。用思维方法的分析去带动具体知识内容的教学”。在学生已经初步获得了“用字母表示数”的方法后,变换素材和问题情境,扩展应用,强化感受,使得新知建构变得简约而不简单。 五、简化写法,升华主题 师:我现在已经很简单了,还要再简单。再简单怎么简单呢?人们就想出了一些办法,什么办法?(屏幕出示:简写规则) 生:简写规则。 师:(带领学生读简写规则并解释) 师:有了这些简写规则,就可以把简单的事—— 生:变得再简单。 师:俗话说,千金难买回头看。回顾刚才我们出现的一些含有字母的式子,可以简化吗? 生1:n×3,可以把乘号改成点。 生2:可以不写乘号,把3写在n前面,就是3n。 师:这就是叫把复杂的事情变简单,简单的事情变得更简单。 (出示:4×b k×5 a×c 1×x x×x x+x) 学生快速说答案,师适当点拨。第一个4b,第二个5k,第三个ac,第四个x,第五个x²。 师:x+x好简化吗? 生1:不好简化。 生2:这是相同字母在相加,可以简化x×2。 生3:就是2x。 师:万一有一天你发现x上面写了一个小小的3(板书:x³),猜猜看是什么意思?。 生1:3个x相乘。 师:对比x³和3x,你们觉得是一回事吗? 生:x³表示3个x相乘,3x表示3个x相加。 师:到了六年级我们就会碰到像x³的情况。如果x右上角是个100呢? 生:就表示100个x相乘。 师:这种形式到初中就见到了。所以,有句话是这么讲的,叫最美的风景总是在远方。意思就是,我们刚刚学习一个知识的时候,我们看不到它最神奇的力量。 思考:含有字母的乘法算式的简便写法,是代数里重要的基础常识。此环节把简写方法的学习,嵌入在“把简单的事情变得更简单”的逻辑链条中,深化了知识内涵,也活化了课堂学习。在相同数的和与积方面适当做了拓展,可以让这一易混淆点得到突破。虽然超越了教材要求,但是,恰到好处的情境支持,学生并不难掌握。 六、学以致用,整体建构 师:以前的数学学习中,咱们有没有碰到过用字母表示数的情况呢? 生:我们学过加法交换律,a+b=b+a。 生:还有加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律都可以用字母表示。 (出示字母表示的运算定律) 生:计算长方形周长和面积的时候,也用过。 师:他一下子把我们带回到三年级。 (出示:长方形、正方形面积的文字公式和字母公式) 由文字公式变成字母公式就变简单了,所以我们当时已经碰到了。 师:那么你们知道为什么面积用s来表示吗? (介绍面积的英文单词“Square”,首字母是s。) 师:用今天所学的方法,我们还可以把这几个字母公式写得再简单一点,s=ab, s=a²。如果不这么写行不行?(生:行)但就显得你的水平——(不高) 师生大笑。 师:既然面积公式可以这么玩,你们就想到了什么?( 周长 )。 师:用今天所学的方法,我们还可以把这几个字母公式写得再简单一点,s=ab, s=a²。如果不这么写行不行?(生:行)但就显得你的水平——(不高) (出示:长方形、正方形周长的文字公式。)下面我们就来进行改造。周长的英文单词是“Circumference”。 生1:长方形的周长c=(a+b)×2; 生2:正方形的周长c=a×4=4a。 思考:很多数学内容的学习都是遵循“前有铺垫、中有突破、后有拓展”的链条螺旋上升的,用字母表示数也是这样。在新知学完后,及时梳理教材,打通前后联系,实现整体建构,很有必要,也很重要。在整体建构中,凸显知识系统化和思维结构化。 七、课堂总结,阅读延伸 师:孩子们,不知不觉中这节课我们马上就要结束了,回想一下这节课你最大的收获是什么?我想听点高水平的。 生1:我会用字母和字母式来表示数了。 生2:用字母表示数能把具体变成概括。 生3:我知道了数字和字母相遇的时候可以简写。 师:乘法简写,数字优先。 生4:我还知道了一句话,数学真奇妙,关系最重要。 师:孩子们,今天这节课我们走到了一个新的数学世界。回到课题上来,把“用字母表示数”六个字再简化,再概括。 生1:字母代数。 生2:代数。 师:对,这是一个新的领域,就叫“代数”。最后,我们再来看看,这“代数”的历史到底是怎么发展过来的。 (播放微视频) 早在3800年前,古埃及人用“堆”表示特定的数。公元4世纪前后,古希腊数学家丢番图(约246-330年)开始用希腊字母表示数和一些运算,成为用字母表示数的先驱。这之后又经历了1200年,16世纪的法国数学家韦达(1540-1603年)才有意识地、有系统地用字母表示数,因此,他被尊称为“代数学之父”。 师:我们平常一节课只有40分钟,而今天这节课,我们跨越了千年的时光,和“代数”牵手,这真是“一课千年”啊!(板书:一课千年) 下课! 思考:数学课不仅要上得科学、严谨、逻辑,也要上得艺术,富有美感。如果说这节课深入浅出地把“用字母表示数”知识内涵说明白了,那很多文学的、诗意的表达,则很好地实现了多种思维形式的联通。“数学很奇妙,关系最重要”“最美的风景在远方”“一课千年”“千金难买回都看”“不比不知道,一比有玄妙”……既是生动的教学语言,又是深刻的数学思想表达,不仅让课堂增色,也给了学生良好的思维启迪。 (作者单位:江苏省海安市城南实验小学) 作者简介: 许卫兵,江苏省海安市城南实验小学教育集团总校长,正高级教师,江苏省特级教师,首批江苏人民教育家培养对象,江苏省基础教育教学改革专家委员,江苏省333高层次人才培养工程学术带头人,南通大学硕士研究生导师,南通高等师范专科学校特聘教授。积极倡导简约教学,研究成果荣获江苏省人民政府成果特等奖、国家教育部教学成果二等奖,被《著名特级教师教学思想录》收录。著有《简约数学教学》《成为高度自觉的教育者——写给后课标时代的数学教师》等,主编或参编教材、图书10多本,在《人民教育》《课程·教材·教法》等有影响力的杂志发表文章300多篇。领衔省市县三级许卫兵名师工作室、全国20个省近200所联盟校的简约教学体系资源建设和结构化学习研究,讲学足迹遍布全国。 责编:崔宏林返回搜狐,查看更多 |
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