矩阵论(3) |
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3 子空间
类似集合里面子集的概念,但是更复杂一点。 3.1 子空间定义 设V是数域F上的线性空间,W是V的子集,若对W中的任意元素
则W也是数域F上的线性空间,称W为V的线性子空间(简称子空间)。 1)由单个零元素组成的子集{ 2)线性空间V本身也是自己的线性子空间; { 3.2 常见的子空间 3.2.1 设A是一给定的
则N(A)是 则R(A)是
看懂下面这个例题,就很好理解这两个概念了。 例1: 1)方程组Ax=0的基础解系就是零空间N(A)的基 因为 所以rank(A)=2,所以dimN(A)=4-2=2 解得方程组Ax=0的基础解系: 所以 2)因为rank(A)=2,所以dimR(A)=2 由上矩阵化简结果可知, 所以 3.2.2 设
则 上面这个记号解决了抽象线性空间中子集(即子空间)的描述。
1)若 2)设 则有 (这里不是太懂,个人理解如下:A_{i}是矩阵第i列,一个 极大线性无关组的个数等于矩阵的秩,R的维数等于矩阵的秩。 3.3 基扩张定理 定理:设
通俗理解就是:通过少数线性无关向量,可以扩张成一组空间的基。 3.4 和空间与交空间 设 并运算得到结果并不是子空间,所以引出了一个新的概念:和空间。 3.4.1 定义定义:设
称 称 注:1) 2)设 1) 设 2) 和空间 注:这种分解不是唯一,如果要唯一就是下一节提出的概念——直和。 3.5 直和 3.5.1 定义 设 称 称
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