婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于四边形一边且过对角线交点的直线将平分对边。

如上图，圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为E。EF⊥DC，交AB于G点,那么G是AB的中点。EH⊥AD，交BC于I点,那么I是BC的中点。

证法1：（向量法）

∵A、G、B共线，由共线向量基本定理可知，存在唯一实数k，使 EG=(1-k) EB+k EA。其中 BG=k BA（以加粗表示向量）

又EG⊥CD

∴ EG· CD=[(1-k) EB+k EA]·( CE+ ED)=0

展开得(1-k) EB· CE+k EA· CE+(1-k) EB· ED+k EA· ED=0

∵EB⊥CE、EA⊥ED，即 EB· CE=0， EA· ED=0

∴k EA· CE+(1-k) EB· ED=0

即k| EA|·| CE|·cos0+(1-k)| EB|·| ED|·cos π=0

∴k EA·EC=(1-k)EB·ED

∵EA·EC=EB·ED( 相交弦定理)

∴k=1-k，k=1/2

∴ BG=1/2·BA，即G是BA中点

∵AC⊥BD，FE⊥CD

∴∠AEB=∠DFE=90°

∵∠BEG=∠DEF（对顶角相等），∠FDE=∠EAG（同弦所对圆周角相等）

∴∠AEB -∠BEG= 90°-∠DEF

∴∠AEG=∠FDE=∠EAG

∴AG=EG

∵∠AEB=90°

∴由 直角三角形斜边中线定理逆定理可知，G是AB中点。

婆罗摩笈多逆定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。

如上图，圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，E是垂足,G是AB中点，则GE⊥BC。

证法1：（向量法）

∵G是AB中点

∴ EG=1/2( EA+ EB)（以加粗表示向量）

有CD= CE+ ED

∴EG· CD=1/2·( EA+ EB)·( CE+ ED)

∴EG· CD=1/2·( EA· CE+ EA· ED+ EB· CE+ EB· ED)

EG· CD=1/2·(EA·CE -EB·ED)=0

∴GE⊥CD

证法2：(几何法）

∵EA⊥EB，G是AB中点

∴AG=EG

∴∠CAB=∠AEG

∵∠CAB=∠CDB，∠DEF=∠BEG

∴∠CDE=∠AEG

∵∠DEF+∠CDE=∠BEG+∠AEG=90°

∴∠DFE=90°

∴GE⊥CD