一、引言

在产品的寿命分析及预计研究中，需要用到各种寿命分布函数，主要包括：正态分布函数、对数正态分布函数、指数分布函数、威布尔分布函数等。其中，指数分布是用来描述电子产品在随机失效阶段的可靠性函数，在可靠性领域中研究甚为广泛。然而，由于产品自身的复杂性、产品所处阶段的不确定性等因素，我们在处理产品试验数据、现场使用数据、产品售后数据时，并不能完全确定产品所处的浴盆曲线阶段，与此同时，很多产品由电子件及机械执行件构成，仅仅利用指数分布进行数据耦合是远远不够的。基于此，威布尔分布在产品的寿命分析中可以起到重要的作用，威布尔分布中的形状参数取值不同，可以产生不同的函数形态，函数形态可以对应不同的产品失效阶段；威布尔分布中的尺度参数可以在确定函数形态后对函数进行拉伸，可以对应产品的失效速率进行耦合描述；威布尔分布的位置参数，又可以将函数的初始位置进行平移，可以对应描述某些产品通过一段“货架期”后进入寿命阶段的特性。

本文将细致介绍威布尔分布函数对应的失效密度函数f(t)、失效函数F(t)、失效函数；威布尔分布函数的形状参数、尺度参数和位置参数的含义，参数的变化可以形成不同的失效函数形态产生不同的函数类型；威布尔分布函数的三个参数如何通过双对数方式及线性回归方式进行求解，从而估计产品的各种寿命，为产品制定保修期、售后等提供依据。

二、威布尔分布的失效密度函数、不可靠度函数、失效函数及各参数含义

1、威布尔分布的相关函数形式

2、威布尔分布各参数含义

自变量t含义：在不同的场合中可以有不同的意义，比如时间、距离、（试验）循环或机械应力等等。

形状参数β含义：形状参数是瞬时失效率随时间的变化率。例如：早期失效、随机失效、耗损失效。形状参数决定了该分布是威布尔分布族中的哪一种。形状参数不同的威布尔分布密度函数的形状是截然不同的。这就使得威布尔分布与其他分布模型相比，能够拟合很多的寿命数据。形状参数起决定性作用，决定函数形状即产品所处的失效阶段，在不同的参考文献中记录为不同的字母，读者只要记住在威布尔分布的各函数中，幂指数位置的参数为形状参数即可。因为幂指数在整个函数中级别最高，驱动效应最强，此位置的参数为最为重要的形状参数。

尺度参数η含义：尺度参数变化影响失效率增长速度，η越小，增长速度越快。尺度参数起到拉伸整个函数的作用，对于产品失效而言体现为失效速率的快慢问题。

位置参数t0含义：利用位置参数，失效时间平移了一段固定时间（t0），这个固定时间称作“门限”。当产品先度过一段“货架期”才可能发生首次失效时，通常这段时间可以作为位置参数。如果威布尔概率图有凹凸形状则提示需要加入位置参数。很多时候产品出货后即应用，进入寿命期，此时t0=0，这时威布尔分布即变换成为两参数分布。位置参数会改变失效率函数的左右位置（即起始位置的改变），不会引起函数曲线形状和大小的变化。

下面通过数形结合的方式更直观的描述各参数在寿命分布中的意义：

图1：尺度参数η=1，位置参数t0=0时威布尔分布族的失效密度函数形状

从图1中可以看出，当形状参数β=3.44时，威布尔分布的概率密度函数（PDF）看起来很像正态分布，实际上它除尾部外都与正态分布十分相似；当形状参数β1时, 失效密度函数先增后减。

图2：威布尔分布失效密度函数图形（尺度参数、位置参数对时效密度函数作用）

从图2左边第一张图中可以看出，当形状参数一定，位置参数为0时，尺度参数的作用是拉伸失效密度函数，尺度参数越大，失效函数上升越慢，下降也越慢；从图2第二张图可以看出，位置参数的作用相当于将失效密度函数右移动，实际的意义为：早期（即右移的一段）产品不失效。

图3：威布尔分布可靠度与不可靠度函数图形（形状参数、尺寸参数、位置参数比较）

从图3的6张图中，显而易见的看出，形状参数越大，可靠度起始水平高，但可靠度随时间下降快（即形状参数越大，不可靠度（失效）起始水平低，但可靠度随时间上升快）；尺度参数越大，可靠度下降越缓慢（即尺度参数越大，不可靠度（失效）上升越缓慢）；位置参数的加入，使得产品存在一个无失效时间（即产品过了位置参数时间后才开始失效，前面时间全部完好）

图4：威布尔分布失效率函数图形

从图4的3张图中，可以看出，形状参数，决定了失效率的上升、下降或恒定；尺度参数决定了失效率的快慢；位置参数决定了起始失效位置。

对于形状参数对失效率的影响作如下总结：

当β=1，威布尔分布就是指数分布；

当β>1，威布尔分布的瞬时失效率随时间递增；

当β