\({\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}\) 【基础过关系列】 高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019） \({\color{Red}{ 跟贵哥学数学，so \quad easy！}}\)

选择性必修第一册同步巩固，难度2颗星！

在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点\(P\)就可以用向量 \(\overrightarrow{O P}\)来表示，我们把向量 \(\overrightarrow{O P}\)称为点\(P\)的位置向量.  

1 直线的方向向量 若\(A、B\)是直线\(l\)上的任意两点，则\(\overrightarrow{AB}\)为直线 \(l\)的一个方向向量；与\(\overrightarrow{AB}\)平行的任意非零向量也是直线\(l\)的方向向量. 注 同一直线的方向向量不唯一.  

【例】 若\(A(0,1,2)\),\(B(2,5,8)\)在直线\(l\)上，则直线\(l\)的一个方向向量为 （ ）  A．\((3,2,1)\) \(\qquad \qquad\) B．\((1,3,2)\) \(\qquad \qquad\) C．\((2,1,3)\) \(\qquad \qquad\) D．\((1,2,3)\) 解 \(A(0,1,2)\),\(B(2,5,8)\)在直线\(l\)上，则直线\(l\)的一个方向向量为： \(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}=\dfrac{1}{2}(2,4,6)=(1,2,3)\)， 故选：\(D\)．  

【例】设 \(\overrightarrow{d_{1}}\)与 \(\overrightarrow{d_{2}}\)都是直线\(Ax+By+C=0(AB≠0)\)的方向向量，则下列关于 \(\overrightarrow{d_{1}}\)与 \(\overrightarrow{d_{2}}\)的叙述正确的是 ( )  A． \(\overrightarrow{d_{1}}= \overrightarrow{d_{2}}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\overrightarrow{d_{1}}\)与 \(\overrightarrow{d_{2}}\)同向 \(\qquad \qquad\) C． \(\overrightarrow{d_{1}}//\overrightarrow{d_{2}}\) \(\qquad \qquad\) D． \(\overrightarrow{d_{1}}\)与 \(\overrightarrow{d_{2}}\)有相同的位置向量 解 根据直线的方向向量定义，把直线上的非零向量以及与之共线的非零向量叫做直线的方向向量．因此，直线\(Ax+By+C=0(AB≠0)\)的方向向量都应该是共线的，故选：\(C\)．  

2 直线的向量表示 空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. ①点\(P\)在直线\(l\)上的充要条件是存在实数\(t\)，使得 \(\overrightarrow{A P}=t \overrightarrow{A B}\)(点\(B\)在直线\(l\)上)；

②取定空间中的任意一点\(O\)，点\(P\)在直线\(l\)上的充要条件是存在实数t，使得 \(\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t \vec{a}\) ( \(\vec{a}\)是直线\(l\)的方向向量)；

③取定空间中的任意一点\(O\)，点\(P\)在直线\(l\)上的充要条件是存在实数\(t\)，使得 \(\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t \overrightarrow{A B}\).

【例】(多选)直线\(l\)的方向向量 \(\vec{a}=(1,2,3)\)，点\(A(-1,0,2)\)在直线\(l\)上，则以下点在直线\(l\)上的是( ).  A.\((0,2,5)\) \(\qquad \qquad\) B.\((1,4,7)\) \(\qquad \qquad\) C.\((2,6,11)\) \(\qquad \qquad\) D. \((-1,1,2)\) 解 设在直线\(l\)上的点为\(P(x,y,z)\)，则 \(\overrightarrow{A P}=t \vec{a}\)， 所以\((x+1,y,z-2)=t(1,2,3)\)，所以 \(x+1=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-2}{3}\)， 所以\(y=2x+2\)，\(z=3x+5\)，所以\(P(x,2x+2,3x+5)\)， 选项中满足要求的点是\(A,C\)，故选\(AC\).  

1 空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定 取定空间任意一点\(O\)，空间一点\(P\)位于平面\(ABC\)内的充要条件是存在实数\(x，y\)，使 \(\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}\).

2 空间中任意平面由空间一点及平面的法向量唯一确定 ①若向量 \(\vec{n}\)所在直线垂直于平面\(α\)，则称这个向量垂直于平面\(α\)，记作 \(\vec{n} \perp \alpha\)，向量 \(\vec{n}\)叫做平面\(α\)的法向量.

注 一平面的法向量不唯一.  

【例】正方体\(ABCD-A'B'C'D'\)中，边长为\(2\)，那以下\(\underline{\quad \quad}\)是平面\(ABCD\)的法向量，\(\underline{\quad \quad}\)是平面\(BCC'B'\)的法向量.  A．\((0,0,2)\) \(\qquad \qquad\) B．\((1,0,0)\) \(\qquad \qquad\) C．\((0,2,0)\) \(\qquad \qquad\) D．\((0,1,0)\) 解 因为\(DD'⊥\)平面\(ABCD\)，所以 \(\overrightarrow{D D^{\prime}}=(0,0,2)\)是平面\(ABCD\)的法向量； 因为\(DC⊥\)平面\(BCC'B'\)， 所以 \(\overrightarrow{D C}=(0,2,0)\)是平面\(ABCD\)的法向量，向量 \(\vec{n}=(0,1,0)\)平行 \(\overrightarrow{D C}\)， 所以 \(\vec{n}=(0,1,0)\)也是平面\(ABCD\)的法向量； 故填\(A\)，\(CD\).  

② 给定一个点\(A\)和一个向量 \(\vec{n}\)，那么过点\(A\)，且以向量 \(\vec{n}\)为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 \(\{P \mid \vec{n} \cdot \overrightarrow{A P}=0\}\).  

【例】 已知平面 \(\alpha=\left\{P \mid \vec{n} \cdot \overrightarrow{P_{0} P}=0\right\}\)，其中点\(P_0 (1,2,3)\)，法向量 \(\vec{n}=(1,1,1)\)，则下列各点中不在平面\(α\)内的是 　( )　  A．\((3,2,1)\) \(\qquad \qquad\) B．\((-2,5,4)\) \(\qquad \qquad\) C．\((-3,4,5)\) \(\qquad \qquad\) D．\((2,-4,8)\) 解 对于\(A\)， \(\overrightarrow{P_{0} P}=(2,0,-2)\)， \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_{0} P}=1 \times 2+1 \times 0+1 \times(-2)=0\)， 故选项\(A\)在平面\(α\)内； 对于\(B\)， \(\overrightarrow{P_{0} P}=(-3,3,1)\)， \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_{0} P}=1 \times(-3)+1 \times 3+1 \times 1=1 \neq 0\)， 故选项\(B\)不在平面\(α\)内； 对于\(C\)， \(\overrightarrow{P_{0} P}=(-4,2,2)\)， \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_{0} P}=1 \times(-4)+1 \times 2+1 \times 2=0\)， 故选项\(C\)在平面\(α\)内； 对于\(D\)， \(\overrightarrow{P_{0} P}=(1,-6,5)\)， \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_{0} P}=1 \times 1+1 \times(-6)+1 \times 5=0\)， 故选项\(D\)在平面\(α\)内． 故选：\(B\)．  

3 平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面\(α\)的法向量为 \(\vec{n}=(x, y, z)\)； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 \(\vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)\), \(\vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)\) ； ④ 根据法向量定义建立方程组 \(\left\{\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \vec{a}=0 \\ \vec{n} \cdot \vec{b}=0 \end{array}\right.\); ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面\(α\)的法向量.  

【典题1】 在长方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，\(AB=BC=2\)， \(A A_{1}=\sqrt{2}\)，\(E,F\)分别是四边形\(A_1 B_1 C_1 D_1\)，\(BCC_1 D_1\)中心，以点\(A\)为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线\(EF\)的方向向量可以是 　（ ） 　  A．\(\left(1,0, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) \(\qquad \qquad\) B．\((1,0, \sqrt{2})\) \(\qquad \qquad\) C．\((-1,0, \sqrt{2})\) \(\qquad \qquad\) D．\((2,0,-\sqrt{2})\) 解析 在长方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，\(AB=BC=2\)， \(A A_{1}=\sqrt{2}\)，\(E,F\)分别是四边形\(A_1 B_1 C_1 D_1\)，\(BCC_1 D_1\)中心， 以点\(A\)为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 \(E(1,1, \sqrt{2})\)， \(F\left(2,1, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)， \(\therefore \overrightarrow{E F}=\left(1,0,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)， 则直线\(EF\)的方向向量是 \(\left(\lambda, 0,-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \lambda\right)\)，\(λ≠0\)． 故选：\(D\)．  

1 已知直线\(l\)过点\(A(3,2,1)\),\(B(2,2,2)\)，且 \(\vec{a}=(2,0, x)\)是直线\(l\)的一个方向向量，则\(x=\)\(\underline{\quad \quad}\)．  

2 直线\(l_1\)与\(l_2\)不重合，直线\(l\)的方向向量为 \(\overrightarrow{v_{1}}=(-1,1,2)\)，直线\(l_2\)的方向向量为 \(\overrightarrow{v_{2}}=(-2,0,-1)\)，则直线\(l_1\)与\(l_2\)的位置关系为 \(\underline{\quad \quad}\)．  

参考答案

答案 \(-2\) 解析 直线\(l\)过点\(A(3,2,1)\),\(B(2,2,2)\)，且 \(\vec{a}=(2,0, x)\)是直线\(l\)的一个方向向量， \(\therefore \overrightarrow{A B}=(-1,0,1)\)， \(\therefore \overrightarrow{A B} / / \vec{a}\)， \(∴x=-2\)．

答案 垂直 解析 因为直线\(l\)的方向向量为 \(\overrightarrow{v_{1}}=(-1,1,2)\)，直线\(l_2\)的方向向量为 \(\overrightarrow{v_{2}}=(-2,0,-1)\)， 则 \(\overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{v_{2}}=-1 \times(-2)+1 \times 0+2 \times(-1)=0\)，故 \(\overrightarrow{v_{1}} \perp \overrightarrow{v_{2}}\)， 所以直线\(l_1\)与\(l_2\)的位置关系为垂直．

【典题1】 在棱长为\(1\)的正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，求平面\(ACD_1\)的一个法向量 \(\vec{n}\)． 解析 由已知图象可得，\(A(1,0,0)\),\(C(0,1,0)\),\(D_1 (0,0,1)\)， 则 \(\overrightarrow{A C}=(-1,1,0)\)， \(\overrightarrow{A D_{1}}=(-1, \quad 0,1)\)， 设\(ACD_1\)的一个法向量\(\vec{n}=(x,y,z)\)． 则 \(\left\{\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overrightarrow{A C}=-x+y=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{A D_{1}}=-x+z=0 \end{array}\right.\)，取\(x=1\)，可得\(y=1,z=1\)， \(\therefore \vec{n}=(1,1,1)\)．  

【典题2】如图，在四棱锥\(S-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是直角梯形，\(∠ABC=90^∘\)，\(SA⊥\)底面\(ABCD\)，且\(SA=AB=BC=1\)， \(A D=\dfrac{1}{2}\)，试建立适当的坐标系，分别求平面\(SAB\)与平面\(SCD\)的一个法向量． 解析 四棱锥\(S-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是直角梯形，\(∠ABC=90^∘\)，\(SA⊥\)底面\(ABCD\)， \(∴\)以\(A\)为原点，\(AD\)为\(x\)轴，\(AB\)为\(y\)轴，\(AS\)为\(z\)轴，建立空间直角坐标系， \(∵SA=AB=BC=1\)， \(A D=\dfrac{1}{2}\)， \(∴S(0,0,1)\),\(A(0,0,0)\),\(B(0,1,0)\),\(C(1,1,0)\), \(D\left(\dfrac{1}{2}, 0,0\right)\)， 平面\(SAB\)的法向量\(\vec{n}=(1, 0, 0)\)； \(\overrightarrow{S D}=\left(\dfrac{1}{2}, 0,-1\right)\), \(\overrightarrow{S C}=(1,1,-1)\)， 设平面\(SDC\)的一个法向量\(\vec{m}=(x,y,z)\)， 则 \(\left\{\begin{array}{l} \vec{m} \cdot \overrightarrow{S D}=\dfrac{1}{2} x-z=0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{S C}=x+y-z=0 \end{array}\right.\)，取\(z=1\)， 得平面\(SDC\)的一个法向量 \(\vec{m}=(2,-1,1)\)．  

1 平面\(α\)经过点\(A(0,0,2)\)且一个法向量 \(\vec{n}=(-1,-1,1)\)，则平面\(α\)与\(x\)轴的交点坐标是\(\underline{\quad \quad}\)．  

2 已知平面\(ABC\)， \(\overrightarrow{A B}=(1,2,3)\)， \(\overrightarrow{A C}=(4,5,6)\)，写出平面\(ABC\)的一个法向量 \(\vec{n}=\)\(\underline{\quad \quad}\)．  

3 在空间直角坐标系内，平面\(α\)经过三点\(A(1,0,2)\),\(B(0,1,0)\),\(C(-2,1,1)\)，向量 \(\vec{n}=(1, \lambda, \mu)\)是平面\(α\)的一个法向量，则\(λ+μ=\)\(\underline{\quad \quad}\).  

4 如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是正方形，侧棱\(PD⊥\)底面\(ABCD\)，\(PD=DC=1\)，\(E\)是\(PC\)的中点，求平面\(EDB\)的一个法向量．  

参考答案

答案 \((-2,0,0)\) 解析 平面\(α\)经过点\(A(0,0,2)\)且一个法向量 \(\vec{n}=(-1,-1,1)\)， 设平面\(α\)与\(x\)轴的交点为\(B(x,0,0)\)，则 \(\overrightarrow{A B}=(x, 0,-2)\)， 由已知得 \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{A B}=-x-2=0\)，解得\(x=-2\)， \(∴\)平面\(α\)与\(x\)轴的交点坐标是\((-2,0,0)\)．

答案 \((1,-2,1)\) 解析 平面\(ABC\)，\(\overrightarrow{A B}=(1,2,3)\)， \(\overrightarrow{A C}=(4,5,6)\)， 设平面\(ABC\)的一个法向量 \(\vec{n}=(x, y, z)\)， 则 \(\left\{\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overrightarrow{A B}=x+2 y+3 z=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{A C}=4 x+5 y+6 z=0 \end{array}\right.\)，取\(x=1\)，得 \(\vec{n}=(1,-2,1)\)．

答案 \(7\) 解析 由\(A(1,0,2)\)，\(B(0,1,0)\)，\(C(-2,1,1)\)， 则 \(\overrightarrow{A B}=(-1,1,-2)\),\(\overrightarrow{A C}=(-3,1,-1)\)， 因为向量 \(\vec{n}=(1, \lambda, \mu)\)是平面\(α\)的一个法向量， 所以 \(\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{A B} \cdot \vec{n}=0 \\ \overrightarrow{A C} \cdot \vec{n}=0 \end{array}\right.\)， 即 \(\left\{\begin{array}{l} -1+\lambda-2 \mu=0 \\ -3+\lambda-\mu=0 \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} \lambda=5 \\ \mu=2 \end{array}\right.\)， 所以\(λ+μ=5+2=7\)．

答案 \((1,-1,1)\) 解析 以\(D\)为原点，分别以 \(\overrightarrow{D A}, \overrightarrow{D C}, \overrightarrow{D P}\)的方向为\(x\)轴，\(y\)轴，\(z\)轴的正方向， 建立空间直角坐标系\(D-xyz\)，如图所示： 依题意得\(D(0,0,0)\),\(B(1,1,0)\),\(C(0,1,0)\),\(P(0,0,1)\), \(E\left(0, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)， 所以 \(\overrightarrow{D E}=\left(0, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)， \(\overrightarrow{D B}=(1,1,0)\)， 设平面\(EDB\)的法向量为 \(\vec{n}=(x, y, z)\)， 所以 \(\left\{\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overrightarrow{D E}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{D B}=0 \end{array}\right.\)，即 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{2} y+\dfrac{1}{2} z=0 \\ x+y=0 \end{array}\right.\)， 令\(x=1\)，则\(y=-1,z=1\)，所以 \(\vec{n}=(1,-1,1)\)， 即平面\(EDB\)的一个法向量为 \(\vec{n}=(1,-1,1)\)．  

1 设\(y∈R\)，则点\(P(1,y,2)\)的集合为 　　 ( )  A．垂直于\(xOz\)平面的一条直线 \(\qquad \qquad\) B．平行于\(xOz\)平面的一条直线  C．垂直于\(y\)轴的一个平面 \(\qquad \qquad\) D．平行于\(y\)轴的一个平面  

2若\(A(2,1,1)\),\(B(1,2,2)\)在直线\(l\)上，则直线\(l\)的一个方向向量为 ( )　　  A．\((2,1,2)\) \(\qquad \qquad\) B．\((-2,2,3)\) \(\qquad \qquad\) C．\((-1,1,1)\) \(\qquad \qquad\) D．\((1,0,0)\)  

3 已知平面\(α\)过点\(A(1,1,2)\)，它的一个法向量为 \(\vec{n}=(-3,0,4)\)，则下列哪个点不在平面\(α\)内 　　 ( )  A．\((5,5,5)\) \(\qquad \qquad\) B．\((9,7,8)\) \(\qquad \qquad\) C．\((-7,2,-8)\) \(\qquad \qquad\) D． \((-3,0,-1)\)  

4 已知直线\(l\)过点\(P(1,0,-1)\)，平行于向量 \(\vec{S}=(2,1,1)\)，平面\(π\)经过直线\(l\)和点 \(A(1,2,3)\)，则平面\(π\)的一个法向量 \(\vec{n}\)的坐标为( )  A．\(\left(\dfrac{1}{2},-2,1\right)\) \(\qquad \qquad\) B．\(\left(\dfrac{1}{2}, 1,-2\right)\) \(\qquad \qquad\) C．\((1,0,-2)\) \(\qquad \qquad\) D． \((1,-2,0)\)  

5 直线\(l\)与\(x\)轴、\(y\)轴、\(z\)轴的正方向所成的夹角分别为\(α,β,γ\)，则直线\(l\)的方向向量为\(\underline{\quad \quad}\) ．  

6 若直线\(a，b\)是两条异面直线，其方向向量分别是\((1,1,1)\)和\((2,-3,-2)\)，则直线\(a\)和\(b\)的公垂线的一个方向向量是\(\underline{\quad \quad}\)．  

7 已知平面\(α\)内有两点\(M(1,-1,2)\),\(N(a,3,3)\)，平面\(α\)的一个法向量为 \(\vec{n}=(6,-3,6)\)，则\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\).  

8 如图，在单位正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，以\(D\)为原点， \(\overrightarrow{D A}, \overrightarrow{D C}, \overrightarrow{D D_{1}}\)为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面\(A_1 BC_1\)的法向量是\(\underline{\quad \quad}\) .    

9 如图，在长方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)，\(AB=4\)，\(BC=3\), \(CC_1=2\)，\(M\)是\(AB\)的中点．以\(D\)为原点，\(DA\),\(DC\),\(DD_1\)所在直线分别为\(x\)轴、\(y\)轴、\(z\)轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面\(BCC_1 B_1\)的法向量； (2)求平面\(MCA_1\)的法向量．      

10 如图所示，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为矩形，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，点\(E\)在线段\(PC\)上，\(PC⊥\)平面\(BDE\)，设\(PA=1\),\(AD=2\)．求平面\(BPC\)的法向量；      

参考答案

答案 \(A\) 解析 点\(P(1,y,2)\)的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合， 由空间直角坐标的意义知，点\(P(1,y,2)\)的集合为垂直于\(xOz\)平面的一条直线 故选：\(A\)．

答案 \(C\) 解析 \(A(2,1,1)\),\(B(1,2,2)\)在直线\(l\)上，则直线\(l\)的一个方向向量为 \(\overrightarrow{A B}=(-1,1,1)\)．故选：\(C\)．

答案 \(C\) 解析 由题意可知，符合条件的点P应该满足 \(\overrightarrow{P A} \cdot \vec{n}=0\)， 对于\(A\)， \(\overrightarrow{P A}=(-4,-4,-3)\)，因为 \(\overrightarrow{P A} \cdot \vec{n}=12+0-12=0\)，所以点在平面\(α\)内， 故选项\(A\)错误； 对于\(B\)， \(\overrightarrow{P A}=(-8,-6,-6)\)，因为 \(\overrightarrow{P A} \cdot \vec{n}=24+0-24=0 \text {, }\)，所以点在平面\(α\)内， 故选项\(B\)错误； 对于\(C\)， \(\overrightarrow{P A}=(8,-1,10)\)，因为 \(\overrightarrow{P A} \cdot \vec{n}=-24+0+40 \neq 0\)，所以点不在平面\(α\)内， 故选项\(C\)正确； 对于\(D\)， \(\overrightarrow{P A}=(4,1,3)\)，因为 \(\overrightarrow{P A} \cdot \vec{n}=-12+0+12=0\)，所以点在平面\(α\)内， 故选项\(D\)错误． 故选：\(C\)．

答案 \(A\) 解析 直线\(l\)过点\(P(1,0,-1)\)，平行于向量 \(\vec{S}=(2,1,1)\)， 平面\(π\)经过直线\(l\)和点 \(A(1,2,3)\)， \(\therefore \overrightarrow{P A}=(0,2,4)\)， 设平面\(π\)的一个法向量 \(\vec{n}=(x, y, z)\)， 则 \(\left\{\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \vec{S}=2 x+y+z=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{P A}=2 y+4 z=0 \end{array}\right.\)，取\(z=1\)，得 \(\vec{n}=\left(\dfrac{1}{2},-2,1\right)\)， 则平面\(π\)的一个法向量 \(\vec{n}\)的坐标为 \(\left(\dfrac{1}{2},-2,1\right)\)． 故选：\(A\)．

答案 \((\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)\) 解析 设过原点与直线\(l\)平行的直线为直线\(l'\)，直线\(l'\)取\(OP=1\)，\(P(x,y,z)\)，则\(x=\cos \alpha, y=\cos \beta, z=\cos \gamma\)， \(\therefore \overrightarrow{O P}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)\)， \(∴\)直线\(l\)的方向向量为 \((\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)\).

答案 答案不唯一\((λ,4λ,-5λ),λ≠0\)均满足条件 解析 \(∵\)直线\(a，b\)是两条异面直线，其方向向量分别是： \(\vec{m}=(1,1,1)\)和 \(\vec{n}=(2,-3,-2)\)， 设直线\(a\)和\(b\)的公垂线的一个方向向量是 \(\vec{a}=(x, y, z)\)， 则 \(\left\{\begin{array}{l} \vec{a} \perp \vec{m} \\ \vec{a} \perp \vec{n} \end{array}\right.\)，即 \(\left\{\begin{array}{l} \vec{a} \cdot \vec{m}=0 \\ \vec{a} \cdot \vec{n}=0 \end{array}\right.\)，即 \(\left\{\begin{array}{l} x+y+z=0 \\ 2 x-3 y-2 z=0 \end{array}\right.\)， 令\(x=1\)，则 \(\vec{a}=(1,4,-5)\)， 故答案为： \((1,4,-5)\) 答案不唯一\((λ,4λ,-5λ),λ≠0\)均满足条件．

答案 \(2\) 解析 平面\(α\)内有两点\(M(1,-1,2)\),\(N(a,3,3)\)， \(\overrightarrow{M N}=(a-1,4,1)\)， 因为平面\(α\)的一个法向量为 \(\vec{n}=(6,-3,6)\)， 所以 \(\vec{n} \perp \overrightarrow{M N}\)，则 \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{M N}=6(a-1)-3 \times 4+6=0\)，解得\(a=2\)．

答案 \((1,1,1)\) 解析 在单位正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中， 以\(D\)为原点， \(\overrightarrow{D A}, \overrightarrow{D C}, \overrightarrow{D D_{1}}\)为坐标向量建立空间直角坐标系， \(A_1 (1,0,1)\),\(B(1,1,0)\),\(C_1 (0,1,1)\)， \(\overrightarrow{B A_{1}}=(0,-1,1)\), \(\overrightarrow{B C_{1}}=(-1,0,1)\)， 设平面\(A_1 BC_1\)的法向量是 \(\vec{n}=(x, y, z)\)， 则 \(\left\{\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overrightarrow{B A_{1}}=-y+z=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{B C_{1}}=-x+z=0 \end{array}\right.\)，取\(x=1\)，得\(\vec{n}=(1,1,1)\)， \(∴\)平面\(A_1 BC_1\)的法向量是\((1,1,1)\)．

答案 \(\vec{n}=(2,3,3)\) 解析 (1)在长方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)，\(AB=4\)，\(BC=3\), \(CC_1=2\)，\(M\)是\(AB\)的中点． 以\(D\)为原点，\(DA\),\(DC\),\(DD_1\)所在直线分别为轴、\(y\)轴、\(z\)轴，建立如图所示的空间直角坐标系． \(\because \overrightarrow{D C} \perp\)平面\(BCC_1 B_1\)， \(∴\)平面\(BCC_1 B_1\)的法向量为 \(\overrightarrow{D C}=(0,4,0)\)； (2)\(M(3,2,0\)),\(C(0,4,0)\),\(A_1 (3,0,2)\)， \(\overrightarrow{M C}=(-3,2,0)\), \(\overrightarrow{M A_{1}}=(0,-2,2)\)， 设平面\(MCA_1\)的法向量\(\vec{n}=(x,y,z)\)， 则 \(\left\{\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overrightarrow{M C}=-3 x+2 y=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{M A_{1}}=-2 y+2 z=0 \end{array}\right.\)， 取\(x=2\)，得平面\(MCA_1\)的法向量\(\vec{n}=(2,3,3)\)．

答案 \(\vec{n}=(1,0,2)\) 解析 \(∵PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(BD⊂\)平面\(ABCD\)， \(∴PA⊥BD\)． \(∵PC⊥\)平面\(BDE\)，\(BD⊂\)平面\(BDE\)，\(∴PC⊥BD\)． 又\(PA⋂PC=P\)，\(∴BD⊥\)平面\(PAC\)，\(AC⊂\)平面\(PAC\)， \(∴BD⊥AC\)． 又底面四边形\(ABCD\)为矩形，\(∴\)矩形\(ABCD\)为正方形． 建立如图所示的空间直角坐标系． \(A(0,0,0)\),\(B(2,0,0)\),\(C(2,2,0)\),\(P(0,0,1)\)，\(D(0,2,0)\)． \(\overrightarrow{B C}=(0,2,0)\), \(\overrightarrow{B P}=(-2,0,1)\)， 设平面BPC的法向量为\(\vec{n}=(x,y,z)\)， \(\therefore\left\{\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overrightarrow{B C}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{B P}=0 \end{array}\right.\)， \(\therefore\left\{\begin{array}{l} 2 y=0 \\ -2 x+z=0 \end{array}\right.\)，取\(\vec{n}=(1,0,2)\)． \(∴\)平面\(BPC\)的一个法向量为\(\vec{n}=(1,0,2)\)．

1 点\(M\)在\(z\)轴上，它与经过坐标原点且方向向量为 \(\vec{s}=(1,-1,1)\)的直线\(l\)的距离为 \(\sqrt{6}\)，则点\(M\)的坐标是\(\underline{\quad \quad}\) .  

2已知直线\(l\)过定点\(A(2,3,1)\)，且\(\vec{n}=(0,1,1)\)为其一个方向向量，则点\(P(4,3,2)\)到直线\(l\)的距离为\(\underline{\quad \quad}\) .  

3 如图，四棱柱\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)的底面\(ABCD\)是正方形，\(O\)为底面中心，\(A_1 O⊥\)平面\(ABCD\)， \(A B=A A_{1}=\sqrt{2}\)．平面\(OCB_1\)的法向量\(\vec{n}=(x,y,z)\)为 ( )  A．\((0,1,1)\) \(\qquad \qquad\) B． \((1,-1,1)\) \(\qquad \qquad\) C．\((1,0,-1)\) \(\qquad \qquad\) D．\((-1,-1,1)\)

参考答案

答案 \((0,0,-3)\)或\((0,0,3)\) 解析 设\(M(0,0,z)\),\(P(t,-t,t)\)是直线上任一点， 因为\(MP⊥s\)，则 \(\overrightarrow{M P} \cdot \vec{S}=0\)， 由于 \(\overrightarrow{M P}=(t,-t, t-z)\)， 因此\(t+t+t-z=0\)，即\(z=3t\)，① 而 \(|M P|=\sqrt{6}\)，即 \(\sqrt{t^{2}+t^{2}+(t-z)^{2}}=\sqrt{6}\) ② 所以，由以上两式解得\(t=1\),\(z=3\)或\(t=-1\),\(z=-3\)， 因此\(M\)坐标为 \((0,0,-3)\)或\((0,0,3)\)．

答案 \(\dfrac{3 \sqrt{2}}{2}\) 解析 \(\overrightarrow{P A}=(-2,0,-1)\)，故 \(|\overrightarrow{P A}|=\sqrt{5}\)， \(\cos =\dfrac{\overrightarrow{P A} \cdot \vec{n}}{|\overrightarrow{P A}||\vec{n}|}=\dfrac{-1}{\sqrt{5} \times \sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)， 设直线\(PA\)与直线\(l\)所成的角为\(θ\)，则 \(\cos \theta=|\cos |=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)， 故 \(\sin \theta=\dfrac{3 \sqrt{10}}{10}\)， \(∴\)点\(P(4,3,2)\)到直线\(l\)的距离为 \(|P A| \sin \theta=\sqrt{5} \times \dfrac{3 \sqrt{10}}{10}=\dfrac{3 \sqrt{2}}{2}\)．

答案 \(C\) 解析 \(∵ABCD\)是正方形，且 \(A B=\sqrt{2}\)，\(∴AO=OC=1\)， \(\therefore \overrightarrow{O C}=(0,1,0)\)， \(∵A(0,-1,0)\),\(B(1,0,0)\)， \(\therefore \overrightarrow{A B}=(1,1,0)\)， \(\therefore \overrightarrow{A_{1} B_{1}}=(1,1,0)\)， \(∵OA=1\), \(A A_{1}=\sqrt{2}\), \(\therefore O A_{1}=\sqrt{2-1}=1\)，故 \(\overrightarrow{O A_{1}}=(0,0,1)\)， 故 \(\overrightarrow{O B_{1}}=\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{A_{1} B_{1}}=(1,1,1)\)， \(∵\)向量\(\vec{n}=(x,y,z)\)是平面 的法向量， \(\therefore \overrightarrow{O C} \cdot \vec{n}=y=0\)， \(\overrightarrow{O B_{1}} \cdot \vec{n}=x+y+z=0\)， 故\(y=0,x=-z\)， 结合选项可知，当\(x=1\)时，\(z=-1\)， 故选：\(C\)．  

1 在空间直角坐标系中，点\(P(x,y,z)\)满足：\(x^2+y^2+z^2=16\)，平面\(α\)过点\(M(1,2,3)\)，且平面\(α\)的一个法向量\(\vec{n}=(1,1,1)\)，则点\(P\)在平面\(α\)上所围成的封闭图形的面积等于\(\underline{\quad \quad}\)．  

2 已知平面\(α\)的法向量为 \(\vec{n}=(-2,-2,1)\)，点\(A(x,3,0)\)在平面\(α\)内，则点\(P(-2,1,4)\)到平面\(α\)的距离为 \(\dfrac{10}{3}\)，则\(x=\)\(\underline{\quad \quad}\) .　  

参考答案

答案 \(4π\) 解析 \(∵\)点\(P(x,y,z)\)满足\(x^2+y^2+z^2=16\)， 点\(P\)在以\(O\)为球心、\(4\)为半径的球面上． 球与平面\(α\)相交围成的封闭图形为圆， 设圆心为\(A\)，则\(OA⊥α\)． \(∵\)平面\(α\)的一个法向量 \(\vec{n}=(1,1,1)\)， \(∴\)可设\(A(t,t,t)\)，又\(OA⊥α\)，点\(M(1,2,3)\)， \(\therefore \overrightarrow{A M}=(1-t, 2-t, 3-t)\)． \(∵\)平面\(α\)过点\(M(1,2,3)\) ， \(\therefore \vec{n} \perp \overrightarrow{A M}\)， \(\therefore \vec{n} \cdot \overrightarrow{A M}=0\)， \(∴1-t+2-t+3-t=0\)，解得\(t=2\)， \(\therefore|\overrightarrow{O A}|=2 \sqrt{3}\)， \(\therefore\)圆\(A\)的半径为 \(\sqrt{4^{2}-(2 \sqrt{3})^{2}}=2\)， \(∴\)圆\(A\)的面积为\(4π\)．

答案 \(-1\)或\(x=-11\) 解析 \(\overrightarrow{A P}=(-2-x,-2,4)\)， \(|\overrightarrow{A P}|=\sqrt{(-2-x)^{2}+(-2)^{2}+4^{2}}=\sqrt{x^{2}+4 x+24}\)， \(|\vec{n}|=\sqrt{4+4+1}=3\)， \(\overrightarrow{A P} \cdot \vec{n}=-2(-2-x)+4+4=2 x+12\)， \(\therefore \cos =\dfrac{\overrightarrow{A P} \cdot \vec{n}}{|\overrightarrow{A P}||\vec{n}|}=\dfrac{2 x+12}{\sqrt{x^{2}+4 x+24} \times 3}\)， 设\(AP\)与平面\(α\)所成角为\(θ\)，则 \(\sin \theta=\dfrac{|2 x+12|}{3 \sqrt{x^{2}+4 x+24}}\)， \(∴P\)到平面\(α\)的距离为 \(|A P| \cdot \sin \theta=\dfrac{|2 x+12|}{3}=\dfrac{10}{3}\)， 解得\(x=-1\)或\(x=-11\)．