2.3.2 一对一函数和映上函数

有些函数在它们的定义域的不同成员上有不同的像。这种函数称为一对一的。

定义5

函数f称为一对一的或单射的，当且仅当对于f的定义域中的所有a和b，f（a）=f（b）蕴含着a=b。一对一的函数称为单射。

注意

函数f是一对一的，当且仅当只要a≠b就有f（a）≠f（b）。这种表达f为一对一函数的方式是对定义中的蕴含倒置而来。我们可以用量词，如ab（f（a）=f（b）→a=b）或等价地ab（a≠b→f（a）≠f（b）），来表达f是一对一的，其中论域是函数的定义域。

我们通过一对一的函数和不是一对一的函数示例来说明这个概念。

例8

判断从｛a,b,c,d｝到｛1，2，3，4，5｝的函数f是否为一对一的，f的定义是 f（a）=4，f（b）=5，f（c）=1而f（d）=3。

解f是一对一的，因为f在它定义域的四个元素上取不同的值。图2-10说明了这一点。

例9判断从整数集合到整数集合的函数f（x）=x2是否为一对一的。

解函数f（x）=x2不是一对一的，因为，例如f（1）=f（-1）=1,但1≠-1。

注意，若定义域限制为Z+，函数f(x)＝x2就是一对一的。（技术上说，当限定一个函数的定义域的时候，我们得到了一个新的函数，被限制的元素的值域与原来是相同的，而被限制的定义域以外的原来定义域的元素就不被限制的函数定义了。）

例10判断函数f(x)＝x+1是否为实数集合到它自身的一对一函数。

解函数f（x）=x+1是一对一的。要证明这一点，只需注意在x≠y时x+1≠y+1。

现在我们给出保证函数为一对一的某些条件。

定义6

定义域和伴域都是实数集子集的函数f称为递增的，如果对f的定义域中的x和y，只要x