积 分 的 要 领 1 ： 以 长 方 形 为 基 础 来 思 考 \boxed{积分的要领1：以长方形为基础来思考} 积分的要领1：以长方形为基础来思考​

长 × \times ×宽，不会的请离开

底 × \times ×高/2，不会的请离开

底 × \times ×高，不会的请离开

( ( (上底 + + +下底 ) × )\times )×高/2，不会的请离开

积 分 的 要 领 2 ： 把 图 形 看 作 小 长 方 形 的 组 合 \boxed{积分的要领2：把图形看作小长方形的组合} 积分的要领2：把图形看作小长方形的组合​

用圆规在方格纸上画一个圆，接着数一数圆中的方格数 我在边长为 1 m m 1mm 1mm的方格纸上画了一个半径为 2 c m 2cm 2cm的圆，我算(shǔ)出圆中共有 1189 1189 1189个格子，所以我们算出的圆周率是 2.9725 2.9725 2.9725 虽然这个误差很大，但是，随着格子边长的缩小，我们的准确度就越高

有什么办法可以提高精度吗？有，如图，我们把圆分成细长的小条来求由于我太懒了，所以只画了3条 每一个小条的宽度是 Δ x \Delta x Δx，表示非常小的数值 这样，我们可以得出圆的面积 = ∫ 左 端 右 端 短 条 在 x 值 对 应 的 长 度 d x =\int_{左端}^{右端}短条在x值对应的长度dx =∫左端右端​短条在x值对应的长度dx d x dx dx可以理解为 lim ⁡ Δ x → 0 Δ x \lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x Δx→0lim​Δx 我做了一个实验，计算半径为 1 c m 1cm 1cm的圆，把它分成 N N N个小条，制成一张表格

可见 N N N越来越大时，小条的总面积就会越接近圆的面积 π r 2 \pi r^{2} πr2

椭圆是由圆拉伸来的，所以我们也可以把它分成细长的短条来求，这个小条的面积就是圆的小条面积的 a b \frac{a}{b} ba​倍，所以，椭圆的面积就是 π a b \pi ab πab 积 分 的 要 领 3 ： 把 图 形 分 解 成 长 方 形 然 后 进 行 伸 缩 变 换 \boxed{积分的要领3：把图形分解成长方形然后进行伸缩变换} 积分的要领3：把图形分解成长方形然后进行伸缩变换​

积 分 的 要 领 4 ： 把 图 形 看 作 被 切 割 后 的 组 合 \boxed{积分的要领4：把图形看作被切割后的组合} 积分的要领4：把图形看作被切割后的组合​ 在外国称作卡瓦列利原理 截面面积总是相等的两个立体图形，体积也相等

积 分 的 要 领 5 ： 灵 活 应 用 祖 暅 定 理 \boxed{积分的要领5：灵活应用祖暅定理} 积分的要领5：灵活应用祖暅定理​ 大家都知道圆锥的体积公式吧？体积 = = =底面积 × \times ×高 × 1 3 \times\frac{1}{3} ×31​ 话说这个 1 3 \frac{1}{3} 31​是哪来的？ 首先，我们从四棱锥说起 我们先把C点平移到A的正上方，使得 A C ⊥ AC\perp AC⊥平面 A B D ABD ABD（祖暅定理）                       ⇓ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Downarrow                      ⇓ 这时，我们发现3个这样的椎体可以拼成一个长方形，因此，我们可以得到这个四棱锥的体积就是 1 3 × \frac{1}{3}\times 31​×底面积 × \times ×高 得到了四棱锥的体积之后，我们就可以计算任意椎体的体积了 我们把椎体的底面分成许多很小的长方形，所以每一个小四棱锥的体积相加就是椎体的体积了，也就等于 1 3 × \frac{1}{3}\times 31​×底面积 × \times ×高

我们先做出一个立体图形，我把它称为钵体，它是一个圆柱再去掉一个圆锥后的图形 我们可以发现，它的每一个截面的面积和一个半球上的截面的面积相同，所以，根据祖暅定理，我们可以知道，球的体积 = 2 × 2 3 π R 3 = × 4 3 π R 3 =2\times\frac{2}{3}\pi R^3=\times\frac{4}{3}\pi R^3 =2×32​πR3=×34​πR3 积 分 的 要 领 6 ： 寻 找 “ 有 效 的 对 应 、 关 系 条 件 ” \boxed{积分的要领6：寻找“有效的对应、关系条件”} 积分的要领6：寻找“有效的对应、关系条件”​

积 分 的 要 领 7 ： 相 比 “ 纠 结 于 细 节 ” ， “ 如 何 思 考 才 能 顺 利 计 算 ” 更 优 先 \boxed{积分的要领7：相比“纠结于细节”，“如何思考才能顺利计算”更优先} 积分的要领7：相比“纠结于细节”，“如何思考才能顺利计算”更优先​ 我们把球的表面分成许多小的四棱锥，所以，我们可以得到球的体积 = 1 3 × R × =\frac{1}{3}\times R\times =31​×R×球的表面积 所以，我们可以得到球的表面积 = 4 π R 2 =4\pi R^2 =4πR2

大家都知道甜甜圈吧？ 我用软件画了一个甜甜圈，我们假设甜甜圈边上的圆心到中心的距离为 4 c m 4cm 4cm，半径为 2 c m 2cm 2cm，我们尝试水平切割，我们就可以得到一个个圆环 这些圆环的外圈的半径 = 4 + 4 − x 2 =4+\sqrt{4-x^2} =4+4−x2 ​，内圈的半径 = 4 − 4 − x 2 =4-\sqrt{4-x^2} =4−4−x2 ​，所以这个截面的面积 = 16 π 4 − x 2 =16\pi\sqrt{4-x^2} =16π4−x2 ​（ x x x代表到圆心的距离） 由此，我们就可以表示出整个甜甜圈的体积就是 ∫ − 2 2 16 π 4 − x 2 d x \int_{-2}^{2}16\pi\sqrt{4-x^2}dx ∫−22​16π4−x2 ​dx这个积分是在不需要我们计算，我们只要画一个图就行了 积分相当于计算这个图形的面积，所以也就是 ∫ − 2 2 16 π 4 − x 2 d x = 16 π × 2 π = 32 π 2 \int_{-2}^{2}16\pi\sqrt{4-x^2}dx=16\pi\times2\pi=32\pi^{2} ∫−22​16π4−x2 ​dx=16π×2π=32π2

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参考材料： 《简单微积分》神永正博 著