【考研数学】03早鸟课 函数极限计算(3)泰勒公式求极限 |
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文章目录 一、【黄金重点】和取低阶原则(有限个无穷小相加减) 二、高阶无穷小运算法则 三、等价无穷小的充分必要条件 四、泰勒公式及介绍 五、泰勒公式的用法(展开原则) 原则1:相消不为0原则 【考】补充5个重点等价无穷小公式(由泰勒公式推出) 原则2:上下同阶原则(经验原则) 六、和取低阶原则易错点 八、最后真题应用 不同于教材的枯燥严谨,本文章旨在帮助研友快速接触考研数学,进入备考状态,基于考研内容进行学习。一些定义可能是出于对知识的应用,以做题应试为目的,而非课本准确定义。所以,对于零基础、期末备考以及考研新手同学非常友好!希望能成为大家做题的指导书。 下面开始讲知识点3,想要看知识点1 极限定型 内容的同学,请移步: 【考研数学】01早鸟课 函数极限计算(1) 想要看知识点2 等价无穷小代换(无穷小量) 内容的同学,请移步: 【考研数学】02早鸟课 函数极限计算(2)等价无穷小代换 一、【黄金重点】和取低阶原则(有限个无穷小相加减)内容如下: f(x) = o[g(x)],规定f(x)为g(x)高阶无穷小。用记号o 解释:当有 有限个无穷小 相加减时,最终取(等价于)最低阶的式子,即“和取低阶原则” 那到底是不是这样呢?我们来证明一下 要想知道是不是等价无穷小,只需把两者作比,结果为1就行。 简单应用例子: 下面看一下这个原则的应用,到底在真题中如何考察 答案如下: 【分析答案】 因为分子分母涉及到加减法等价无穷小代换(不清楚的,可以去最上面找,我放了链接),所以能不能代换还需判断,而本题这里并没有直接代换掉,而是想看一下无穷小的阶数。 然后,利用“和取低阶原则”,将阶数小的项保留下来。本步是利用“和取低阶原则”删掉某些项,而不是等价无穷小直接代换。加减法等价无穷小代换是有条件的(不清楚的,可以在最上面找,我放了链接)。 之后又进行了乘除法因式的等价无穷小代换(不清楚的,可以在最上面找,我放了链接)。 将【分析】整合到一起就是我上面放的答案 二、高阶无穷小运算法则真题考察: 答案如下: 由泰勒公式推导而来的几个等价无穷小代换公式的理论依据↑ 四、泰勒公式及介绍要想利用泰勒公式做题,甚至是考研真题(下面会讲解)。上面三个部分:和取低阶原则,高阶无穷小运算法则,等价无穷小的充分必要条件,大家需要了解清楚。 大家在零基础阶段只需记住公式,会做题。后面会讲到公式来源 泰勒公式如下: x->0时, 下面挑第一个公式进行拓展了解: 通过泰勒公式推出x - sinx ~ 答案如下: 记住了公式只是第一步,怎么使用泰勒公式求函数极限才是关键 原则1:相消不为0原则做两个题练一下泰勒公式展开: 答案如下: 由上面的证明题可以看出这几个公式是怎么得到的。 答案如下: 【分析】在泰勒公式原则1相消不为0已经知道tanx - sinx ~1/2 本部分没写在第一部分和取低阶原则部分,是因为第一部分想让大家初步了解,如果一股脑儿都说了的话,可能会“劝退”大家,为了让大家“先完成,再完美”,所以放在最后进行说明。 解释:无穷小相加减,同阶数的式子放在一起进行利用等价无穷小看阶数是多少,比如本题,x与sinx都是1阶,放在一起看的话(x-sinx)~1/6 答案如下: 2012年真题解答: 如果上面对泰勒公式的讲解对大家有所帮助,荣幸之至! |
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