[t, Xt] = ode45(odefun, tspan, X0)

求解单变量微分方程的解 x ˙ ( t ) = 2 ∗ x ( t ) \dot{x}(t) = 2 * x(t) x˙(t)=2∗x(t)

求解一阶微分方程 X ˙ ( t ) = − L ∗ X ( t ) \dot{X}(t) = -L * X(t) X˙(t)=−L∗X(t)

其中， X ( t ) X(t) X(t) 是列向量。

From: P4 控制系统数学模型-《Matlab/Simulink与控制系统仿真》程序指令总结

Ref: 【MATLAB】关于ode45的一部分用法的函数编写方式

[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0)

[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0)（其中 tspan = [t0 tf]）求微分方程组 y′=f(t,y) 从 t0 到 tf 的积分，初始条件为 y0。解数组 y 中的每一行都与列向量 t 中返回的值相对应。

所有 MATLAB® ODE 求解器都可以解算 y′=f(t,y) 形式的方程组，或涉及质量矩阵 M(t,y)y′=f(t,y) 的问题。求解器都使用类似的语法。ode23s 求解器只能解算质量矩阵为常量的问题。ode15s 和 ode23t 可以解算具有奇异质量矩阵的问题，称为微分代数方程 (DAE)。使用 odeset 的 Mass 选项指定质量矩阵。

ode45 是一个通用型 ODE 求解器，是您解算大多数问题时的首选。但是，对于刚性问题或需要较高准确性的问题，其他 ODE 求解器可能更适合。有关详细信息，请参阅选择 ODE 求解器。

[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)

[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0,options) 还使用由 options（使用 odeset 函数创建的参数）定义的积分设置。例如，使用 AbsTol 和 RelTol 选项指定绝对误差容限和相对误差容限，或者使用 Mass 选项提供质量矩阵。

[t,y,te,ye,ie] = ode45(odefun,tspan,y0,options) [t,y,te,ye,ie] = ode45(odefun,tspan,y0,options) 还求 (t,y) 的函数（称为事件函数）在何处为零。在输出中，te 是事件的时间，ye 是事件发生时的解，ie 是触发的事件的索引。

对于每个事件函数，应指定积分是否在零点处终止以及过零方向是否重要。为此，请将 ‘Events’ 属性设置为函数（例如 myEventFcn 或 @myEventFcn），并创建一个对应的函数：[value,isterminal,direction] = myEventFcn(t,y)。有关详细信息，请参阅 ODE 事件位置。

sol = ode45(___)

sol = ode45(___) 返回一个结构体，您可以将该结构体与 deval 结合使用来计算区间 [t0 tf] 中任意点位置的解。您可以使用上述语法中的任何输入参数组合。

在对求解器的调用中，可将只有一个解分量的简单 ODE 指定为匿名函数。该匿名函数必须同时接受两个输入 (t,y)，即使其中一个输入未使用也是如此。

解算 ODE y ′ = 2 t y' = 2t y′=2t

使用时间区间 [0,5] 和初始条件 y0 = 0。

y 1 ′ ′ − μ ( 1 − y 1 2 ) y 1 ′ + y 1 = 0 y''_1 - \mu (1-y_1^2)y'_1 + y_1 = 0 y1′′​−μ(1−y12​)y1′​+y1​=0

其中， μ > 0 \mu>0 μ>0 为标量参数。通过执行 y 1 ′ = y 2 y'_1=y_2 y1′​=y2​ 代换，将此方程重写为一阶 ODE 方程组。生成的一阶 ODE 方程组为 y 1 ′ = y 2 y 2 ′ = μ ( 1 − y 1 2 ) y 2 − y 1 y'_1 = y_2 \\ y'_2 = \mu(1-y_1^2)y_2-y_1 y1′​=y2​y2′​=μ(1−y12​)y2​−y1​

函数文件 vdp1.m 代表使用 μ = 1 \mu = 1 μ=1 的 van der Pol 方程。变量 y 1 y_1 y1​ 和 y 2 y_2 y2​ 是二元素向量 dydt 的项 y ( 1 ) y(1) y(1) 和 y ( 2 ) y(2) y(2)。

使用 ode45 函数、时间区间 [0 20] 和初始值 [2 0] 来解算该 ODE。生成的输出即为时间点 t t t 的列向量和解数组 y y y。 y y y 中的每一行都与 t t t 的相应行中返回的时间相对应。 y y y 的第一列与 y 1 y_1 y1​ 相对应，第二列与 y 2 y_2 y2​ 相对应。

整体写成一个函数

再做一下转换，换成常见的二阶智能体形式： p ˙ = v v ˙ = ( 1 − p 2 ) ∗ v − p \dot{p}=v \\ \dot{v}=(1-p^2)*v-p p˙​=vv˙=(1−p2)∗v−p

因为对ode的使用方法（求二阶微分方程）还是不够熟悉，因此，再做一次离散化处理，来验证下自己的离散化方法是否正确。

图像变化趋势没有错误，证明离散化的思路正确，再把时间间隔由 d T = 0.1 dT = 0.1 dT=0.1 调整为 d T = 0.01 dT=0.01 dT=0.01，结果如下

最后，附上完整版代码：

ode45 仅适用于使用两个输入参数（ t t t 和 y y y）的函数。但是，通过在函数外部定义参数并在指定函数句柄时传递这些参数，可以传入额外参数。

解算 ODE y ′ ′ = A B t y y'' = \frac{A}{B}ty y′′=BA​ty

将该方程重写为一阶方程组可以得到 y 1 ′ = y 2 y 2 ′ = A B   t   y 1 y'_1 = y_2 \\ y'_2 = \frac{A}{B}\ t\ y_1 y1′​=y2​y2′​=BA​ t y1​

odefcn.m 将此方程组表示为接受四个输入参数（t、y、A 和 B）的函数。

使用 ode45 解算 ODE。指定函数句柄，使其将 A 和 B 的预定义值传递给 odefcn。

请考虑以下带有时变参数的 ODE：

y ′ ( t ) + f ( t ) y ( t ) = g ( t ) . y'(t) + f(t)y(t) = g(t). y′(t)+f(t)y(t)=g(t).

初始条件为 y 0 = 1 y_0 = 1 y0​=1。函数 f(t) 由在时间 ft 时计算的 n×1 向量 f 定义。函数 g(t) 由在时间 gt 时计算的 m×1 向量 g 定义。

创建向量 f 和 g。

编写名为 myode 的函数，该函数通过对 f 和 g 进行插值获取时变项在指定时间的值。将函数保存到您当前的文件夹中，以运行示例的其余部分。

myode 函数接受额外的输入参数以计算每个时间步的 ODE，但 ode45 只使用前两个输入参数 t 和 y。

使用 ode45 计算方程在时间区间 [1 5] 内的解。使用函数句柄指定函数，从而使 ode45 只使用 myode 的前两个输入参数。此外，使用 odeset 放宽误差阈值。

van der Pol 方程为二阶 ODE y 1 ′ ′ − μ ( 1 − y 1 2 ) y 1 ′ + y 1 = 0 y''_1 -\mu(1-y_1^2) y'_1 + y_1 = 0 y1′′​−μ(1−y12​)y1′​+y1​=0

使用 ode45 以及 μ=1 解算 van der Pol 方程。函数 vdp1.m 随 MATLAB® 一起提供，用于对方程进行编码。指定单个输出以返回包含解信息（如求解器和计算点）的结构体。

使用 linspace 在区间 [0 20] 内生成 250 个点。使用 deval 计算在这些点上的解。

使用 odextend 将解扩展到 t f = 35 t_f=35 tf​=35，并将结果添加到原始图中。

options 结构体，指定为结构体数组。使用 odeset 函数创建或修改 options 结构体。有关与每个求解器兼容的选项列表，请参阅 ODE 选项摘要。

示例： options = odeset('RelTol',1e-5,'Stats','on','OutputFcn',@odeplot)

指定 1e-5 的相对误差容限、打开求解器统计信息的显示，并指定输出函数 @odeplot 在计算时绘制解。

数据类型： struct

From: ode45-MathWorks