Link: https://informationalmind.appspot.com/2012/03/17/UnderstandingMatrix_BasesAndLinearTransformations.html

记得以前看过别人写的一篇文章，讲如何直观的去理解矩阵的，用一种虽然很不严密也很不形式化的语言来直观的描述了一下矩阵，对于新手理解矩阵有不少帮助。链接：

理解矩阵：一，二，三。

由于上课以及学习图形学的两个原因，我跟矩阵断断续续的又耗了小半年，其间其他恶心事情无数，各种间断……唉，不扯了。既然学了，就再随便写点自己的，结合着图形学所用到的矩阵来写。程度么，接着上述链接里的文章继续写。当然，也都是些很基本的内容。

在一开始提到的文章三中，提到了向量与矩阵乘积Mx，我们可以把这个形式的矩阵M理解为对向量x的基——即坐标系的声明，向量x可看作空间的一点。乘积的结果向量，就是x在标准正交基I下的空间坐标。也就是说，假设y=Mx，那么y其实是Iy——x在正交基下的坐标。也可以这么理解，Mx相当于用用矩阵M作为变换矩阵对x进行了变换，其结果是x在I下的坐标。

不过这里还是不够明白，M中的每个基向量，又是定义在哪里的。为什坐标系的声明可以看作一次变换。

为了说明白这个东西，先转换一下内容，说说坐标变换：

一个坐标x在I下，其数值就是最终的坐标。但如果我们把x放到M下，Mx的数值才是最终的坐标。再或者，如果要获得一个在M下的坐标x’，其在I下的坐标为x，那这个x’是多少。这些可以用坐标变换来表达，在开始链接的文章中也讲到过。一个在变换T(x)，其M下的变换矩阵为A，则变换过程可以表示为MAx，其位置就是MAx，而变换后的坐标，从数值上来讲也可以认为是相对位置没有变而基变了：从x以M为基变换到了x以MA为基。变换是相对的。所以这个变换T的矩阵A，也可以理解为是对基M的一个变换。

那么，就来扯一扯这个相互关系吧。

假设有基M和其下的坐标y，一个变换T以及其M下的变换矩阵A，变换后的位置是MAy，如果这里把MA看作基N，那么N=MA，M=NA-1。如果想要一个在M下的坐标x，其最终位置和MAy相同，从Ny=MAy=Mx看，y在数值上就应该是Ax，x也就等于A-1y。就如上面说的：对于一个坐标的变换（左乘），可以理解成将坐标的基进行更换（右乘）。

那如何理解对坐标的变换用左乘，对基的变换是右乘呢？

对坐标的变换是用变换矩阵左乘，这个过程看作为对基右乘此变换矩阵时，可以这么理解：这个变换矩阵中的每一列都表示一组新的基中的一个基向量，数值是此向量在原先的基下的坐标。这样，相乘之后的矩阵就是新的基，每一列就是新的基中的基向量。

上面这些，总结一下就是：有两个不同的基，M和N，如果N=MA，那么一个位置在M下的坐标是y，其在N下的坐标就是A-1y。

变换是相对的，两个物体，一个物体A相对于另一个物体B变换了位置，可以理解为B相当于A反向变换了位置。

先用个简单的例子来说明。

在图形学中，旋转矩阵是最基本的矩阵之一。对一个在某个基M下的坐标x进行旋转变换T，T的矩阵为A，那么旋转后的坐标为MAx。由于相对变换的相对性，旋转也可以理解为位置不动，而所在的基进行反向的旋转。

根据这个，可以很自然地得到：对一个基的每个坐标反向旋转，相当于A-1M，这样得到的坐标和之前的坐标相同，最终的结果也就是A-1Mx。也就是说这里A-1Mx和MAx是相等的。

等等，这两个不相等啊，哪里错了……

哪里错了？

错在，如果要把基进行反向旋转的话，要保持位置不动，而不是坐标不动。或者说，这种理解变换的方式中，需要的是最终在某个基下变换后的坐标，而不是空间中最终的位置。对于基M，M下变换T来说，MAx中的Ax是最终的坐标；对于把基M的每一个坐标反向旋转之后，A-1Mx，x是最终的坐标。而用A-1左乘基矩阵这样改变基M的话，由于x是在M下表示的，这样x的位置就和随着矩阵A-1的左乘一起变了。为了保持x在M变换前后位置不变，在对基M进行反向旋转之后，应该再把坐标x进行正向旋转，保持位置不变，也就是A-1MAx。而在这个变换过的基下的坐标，依然是Ax。（这里很绕。形象地说就是，一张纸上面有个点，你把这张纸逆时针旋转了一定角度之后，要保持上面的那个点位置不变，就得把这个点擦掉，在之前点所在空间中的位置上再画上。）

因为把基反向旋转来得到旋转变换的相对效果，我们要的是坐标在最终的那个基下相等。这个不能按照在空间中的最终位置来理解，而这种用相对变换来理解变换效果的方法，在最终的空间坐标没有意义，当然数值上也不一样。

不过旋转矩阵由于其特殊性（正交矩阵，所以可逆），不能推广到一般情况。比如投影矩阵等这种不可逆的变换，就不能这样相对了。

和上面相同，还是M，以及另一个基N=MA，还有一个位置，其M下的坐标x，N下坐标y。这时候又来了一个变换F，其在M下的变换矩阵为P。如果在M下的坐标x经过这个变换为MPx，那这个变换F在N下的坐标y，有一个什么变换矩阵呢Q？最基本的想法嘛，我们可以先把基变换回去，再进行变换，然后再把基变换回来。用矩阵表示就是：先变换回去NA-1y，进行变换NA-1Py，再变换回来NA-1PAy。从这个过程可以知道，NA-1PAy和MPx拥有相同的位置。那么F在N下的变换矩阵Q也就是A-1PA啦。

再反过来看，为什么NA-1PAy和MPx相等。这个就很简单了，首先，NA-1是M；再根据上面的推导来看，x=Ay，那么NA-1PAy=MPx。

上面这些，总结一下就是：有两个不同的基M和N，一个变换F，在M下的变换矩阵为P，如果N=MA，那么其在N下的变换矩阵就是A-1PA。

根本上来讲，最后的坐标无论如何都是要在标准正交基I下进行表达的，也就是说，不管一个坐标x在哪个基下，最底层的，都要在I下进行表示。这样，在基M下的坐标x写成Mx，但M中的每个基向量还是在I下定义的，所以M每个向量m都是Im，整体上M就是IM。所以，Mx可以写成IMx，Iy可以写成IIy。我们再推广一下，如果M中的基向量m不是在I下定义的，是N下，那么x在M下定义的坐标其实就是NMx，也就是INMx，可以这么一直定义下去：MnM(n-1)...M1M0x。这里也可以说，每个基矩阵都可以理解成一个变换矩阵。

上面这种矩阵套矩阵的定义坐标的方法，我们不妨叫其矩阵栈，最左边的矩阵是栈底，最右边的矩阵是栈顶，那么x最终在I中的坐标就是从这一坨东西的乘积，但为什么要搞个矩阵栈这么个概念出来呢？下一节说局部坐标系与全局坐标系的时候要用到。

由于矩阵乘是符合结合律的，从谁开始乘都没有关系，这样就可以从两个方面去理解。这里以3个矩阵M2M1M0x连乘为例。

一个是从左向右看：先有一个M2定义了一个基；再来一个M1，其每个基向量在M2的基础上定义，这时基就变了，被右乘了一个M1，这样就相当于基直接是一个矩阵(M2M1)；然后又是M0，再次把基改变，成为(M2M1M0)；最后这个基就是x所在的坐标系，相乘就是x在I下的坐标。

另一个是从右向左看：有一个坐标x；先有一个M0左乘这个坐标，相当于改变了x的基，从默认的I变为M0，这时x在I中的位置就变了一次，相当于把x从坐标系I下移动到了M0下；再来了一个M1，再次把已经变换了一次坐标的x——M0x，变换到了M1M0x；最后是变换到M2M1M0x，这还是x最终在I下的坐标。

说一说矩阵的一种用法吧。

在对空间物体的坐标描述中，为了描述一个物体模型，其每个顶点都会有一个坐标，这个坐标是相对于这个物体的自定义的“中心”，那这些坐标就是物体的局部坐标系下的物体描述。一个场景中，会有很多物体，每个物体的位置不同，放置方向不同，大小也不同。那怎么表达空间中这些物体呢？

最直接的方法是保存下来空间中每个物体的每个顶点。不过如果有很多物体，只是在空间的位置与方向不同，那这样保存明显太浪费地方了。再或者场景中的一个物体需要移动/转动等，保存这个物体每个顶点的运动轨迹也明显太浪费。所以一个很显然的解决方式就是，分别保存不同的物体模型，然后把它们在空间中放置。重复的物体只需要两个引用指向相同的模型即可，而不需要分别保存它们在空间中的定点。

为了方便的达到这个方法，我们有了一个个的物体模型，然后需要把它们放置在场景内。这个“放置”的过程，就是保存一个物体用的是哪个模型，在空间的位置是什么，朝向哪里，放大缩小的倍率等。而这些，都是线性变换，都可以用一个个的矩阵来表示（平移不是线性变换，但可以用高一个维度的线性变换表示，所以都可以用矩阵表示）。（具体的矩阵是什么样的是图形学最基本的内容，这里就不再说明了，可搜索查看相关资料。）

按照这个想法，就可以方便的在空间中放置物品了：

不妨假设最终的场景坐标系为单位矩阵I，我们有个物品，把其每个顶点作为矩阵O的列向量，那O就可以描述这个模型。显然，如果只考虑物品O，则矩阵O的每个坐标就是需要的顶点坐标。下来往场景中放这个物体。假设物体原点在p处，这个位移可用矩阵T表示，那么让整个物体移动到场景p就可以表示为TO，这样就把局部坐标系中的每一个点移动到了场景坐标系中。

目前这个物品的朝向和局部坐标系中还是相同的，我们想让物品绕着自身坐标系的x轴旋转一下，再放到场景中。假设这个旋转可用矩阵R表示，那么这个物品O在场景中的最终坐标就是TRO。这个顺序很重要，不同的顺序含义不同，应该按照从后向前的顺序去理解每一个矩阵和每一个变换的对应。如果搞成RTO的话，就变成先移动到p处，再绕场景原点旋转了。

再稍微复杂些。假设有个坦克的模型，每个可活动的部分都分别是独立的模型，每个部分都有自己的坐标系。车身所在的坐标系是基坐标系；炮塔要在车身上旋转，所以炮塔坐标系的基坐标系是车身；而对于炮管来说，炮塔所在的坐标系是基坐标系，炮管要绕炮塔上的固定点旋转；同理，车顶机枪的基坐标系也是炮塔。再假设炮塔顶点坐标矩阵T，位置的位移矩阵TT，旋转矩阵RT；炮管顶点坐标矩阵B，位置位移矩阵TB，旋转矩阵RB；车顶机枪顶点坐标矩阵M，位置位移矩阵TM，旋转矩阵RM。那炮塔在坦克坐标系中就是TTRTT；炮管是相对于炮塔的，所以炮管在炮塔的坐标系中就是TBRBB，在车身的坐标系中就是TTRTTBRBB；同理，由于车顶机枪也是相对于炮塔的，所以在炮塔的坐标系中就是TMRMM，在车身的坐标系中就是TBRBTMRMM。如果坦克在场景中位置位移矩阵T，转向矩阵R，缩放矩阵S，那么可知其炮管在场景中最终的位置是TRSTTRTTBRBB，好长是吧……这个例子里，坦克可以看作是一个模型节点，炮塔是其一个子节点，炮管和车顶机枪分别是炮塔的两个子节点，这样也就形成了一个模型关系的树形结构。

每个顶点要是都这么算一次矩阵乘法显然太那个了。首先，同一个模型节点中的顶点的各种变换肯定是相同的，所以把对这个模型的变换矩阵可以先乘出来，然后每次只需要用这个矩阵左乘模型中的顶点。再者，处理不同的子节点时，只需要在父节点的变换矩阵上再乘以这个节点的变换矩阵即可。这就明显是一个递归模型了：根节点是场景，每个子节点有其对应的变换矩阵，子节点的子节点也有其对应的变换矩阵……这样便可以用递归的方式处理场景中的每一个物体，或者，我们手动控制这个递归过程，这就需要我们自己把每层节点的变换矩阵保存在栈里，处理新的子节点时对其变换矩阵压栈，处理完后出栈。

以上面坦克的例子来说明一下，当处理到这个坦克的节点时，栈顶的矩阵是此坦克所在的节点的变换矩阵M0，这时计算出坦克的变换矩阵M=TRS，用M0左乘M得到M1，压栈，用M1处理坦克车身的每个顶点；然后处理炮塔，这是栈顶矩阵是M1，算出炮塔的变换矩阵M=TBRB，用M1左乘M得到M2，压栈，用M2处理炮塔的每个顶点……当炮塔自己与所有子节点处理完后，可以让M2出栈了，然后用M1继续处理坦克车身的其他子节点。

费了不少劲写了点这种基础内容，写的过程中让自己清晰化了一些东西。写完自己读起来感觉也就那么回事……希望没白写吧，从各种意义上来说。