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一、前言 二、线性分组码的最小距离、检错和纠错能力 三、解决实验中的问题 四、参考资料 一、前言本文是在我的上一篇博客基础上展开的描述,上一篇介绍了线性分组码的概念、生成矩阵和校验矩阵,简单的举了几个例子,在最后的一个(4,2)线性分组码例子上,码字 二、线性分组码的最小距离、检错和纠错能力 想要了解线性分组码的检错和纠错能力,即一个已知的线性分组码,怎么知道能纠正多少个错误?能检查出多少个错误?就必须要理解下面提到的概念。 1、汉明重量 汉明重量W:码字中非0码元符号的个数,称为该码字的汉明重量。在二元线性码中,码字重量就是码字中“1”的个数。同时,线性分组码中非0码字重量的最小值叫做该码的最小重量。举个例子:一个码字U=0011101,那么这个码字的汉明重量为4。 2、汉明距离 在 (n,k)线性码中,两个码字 U、V 之间对应码元位上符号取值不同的个数,称为码字 U、V 的汉明距离。举个例子:(7,3) 码的两个码字 U=0011101,V=0100111之间第2、3、4和6位不同。因此,码字 U 和 V 的汉明距离为4。 3、最小距离 在 (n,k) 线性码的码字集合中,任意两个码字间汉明距离的最小值,叫做码的最小距离,一般记为 上面为(5,2)线性分组码的信息元和码字的对应关系,可以知道整个码字空间只有这4个码字,我们两两码字之间算一下汉明距离,比较了 4、汉明球 为什么弄个汉明球的概念进来,因为这便于理解线性分组码的纠检错能力的最本质原理。一个码字C我们可以理解是三维空间中的一个点,以t为半径可以绕着该点围出一个三维球体,我们称这个球为汉明球。一个线性分组码有很多的码字,每一个码字都可以理解为三维空间中的一个点,每一个点都以t为半径围了一个球体,而且这些球体在三维空间中没有任何相接触(相交)的部分,任意两个汉明球不相交最大程度取决于任意两个码字之间的最小汉明距离dmin,如下图: 5、检错能力和纠错能力的定义 (1)检错能力:一个线性码能检出长度≤l 个码元的任何错误图样,称码的检错能力为 l。 (2)纠错能力:线性码能纠正长度≤t 个码元的任意错误图样,称码的纠错能力为 t。 (3)最小距离与纠错能力:(n,k) 线性码能纠 t 个错误的充要条件是码的最小距离为: 即: 其中 假定 (4)最小距离与检错能力:(n,k) 线性码能够发现 l 个错误的充要条件是码的最小距离为 我们还拿这个图举例子,但是进行一点改动,点U的位置变了: 假定 再来个例子: 假定 (5)最小距离与检、纠错能力:(n,k) 线性码能纠 t 个错误,并能发现 l 个错误 (l>t) 的充要条件是码的最小距离为 当 (n,k) 线性码的最小距离 dmin 给定后,可按实际需要灵活安排纠错的数目。例如,对 dmin=8 的码,可用来纠3检4错,或纠2检5错,或纠1检6错,或者只用于检7个错误。 下面我们来解决上一篇博客中最后遗留下来的问题,为什么 一个(4,2)线性分组码的生成矩阵和校验矩阵如下: 所有合法码字 由本文介绍的知识知道1010这个码字的重量是非0码字外汉明距离最小的了为2,那么这个线性分组码的最小距离 四、参考资料 线性分组码详解.ppt 链接:https://pan.baidu.com/s/1yTZxYOn2ct2QLlGBcARRxg 提取码:c7nx |
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