向量在法向量所垂直的平面上的投影

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向量在法向量所垂直的平面上的投影

2024-07-16 00:12| 来源: 网络整理| 查看: 265

一、记录的内容

向量在平面上的投影问题十分常见。所以记录一下向量是如何在法平面所垂直的平面上的投影过程。实际上这是高中的初等几何内容，不过就当是复习一下。

首先，我们要明白向量在另一向量上的投影。如果把向量 $\vec{a}$ 在非零向量 $\vec{b}$ 上的投影记作 $\vec{a'}$ ，那么

$\vec{a'}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|| \vec{b} ||^2}\vec{b}$

其中“ $\cdot$ ”是点积，即向量对应元素的乘积然后相加。

其次，有了上面的公式，我们就可以通过向量加减法得到向量在法向量所垂直的平面上的投影向量了。假设平面 $p$ 的法向量为 $\vec{n}$ ，向量 $\vec{a}$ 在平面 $p$ 上的投影为 $\vec{a_p}$ ，向量 $\vec{a}$ 在法向量 $\vec{n}$ 上的投影为 $\vec{a'}$ ，那么根据向量加法有

$\vec{a_p}+\vec{a'}=\vec{a}$

它们之前的关系如下图所示：

所以最终向量 $\vec{a}$ 在法向量 $\vec{n}$ 所垂直的平面 $p$ 上的投影向量为

$\vec{a_p}=\vec{a}-\vec{a'}=\vec{a}-\frac{\vec{a}\cdot \vec{n}}{|| \vec{n} ||^2}\vec{n}$

其中“ $\cdot$ ”是点积，即向量对应元素的乘积然后相加。如果法向量 $\vec{n}$ 为单位向量，可继续化简为 $\vec{a_p}=\vec{a}-\vec{a'}=\vec{a}-\frac{\vec{a}\cdot \vec{n}}{|| \vec{n} ||^2}\vec{n}=\vec{a}-(\vec{a}\cdot \vec{n})\vec{n}$

注意：由于向量也可以认为是一个矩阵，所以它也可以通过向量计算的方式表达，不过在计算的时候可能会出现矩阵转置运算啥的，但本质上和以上表达的是一个东西。

二、参考资料

Vector projection - Wikipedia

已知法向量，某一向量投影到其平面，计算投影向量

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向量在法向量所垂直的平面上的投影

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