第

4

章连通性重要知识点

本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，

包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉

及某些简单的应用

.

这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间

. 

§4. 1

连通空间

本节重点：掌握连通与不连通的定义

.

掌握如何证明一个集合的连通与否

？

掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。

我们先通过直观的方式考察一个例子

.

在实数空间

R

屮的两个区间

（

0,1

）

和

［

1,2

）

,

尽管它们

互不相交，但

它们的并

（

0,1

）

 U 

［

1,2

）

 = 

（

0,2

）

却是一个

“

整体

”

；而另外两个区间

（

0,1

）

和

（

1,2

）

,

它们的并

（

0,1

）

 U 

（

1,2

）

是明显的两个

“

部分

”.

产生上述

不同情形的原因在于，对于

前一种情形，区间（

0, 1

）

有一个凝聚点

1

在

［

1,2

）

中；而对

于后一种情形，两个区间屮的任何一个都没有凝聚点在另一个中

. 

我们通过以下的定义，用

术语来区别这两种情形

. 

定义

4. 1. 1

设

A

和

B

是拓扑空间

X

中的两个子集

.

如果

（

AB

）

（

B A

）

则称子集

A

和

B

是隔离的

. 

明显地，定义中的条件等价于

AB

和

BA 

同时成立，也就是说，

A 

与

B

无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点

. 

应用这一术语我们就可以说，在实数空间

R

中，子集

（

0,1

）

和

（

1,2

）

是隔离的，

而子集

（

0, 1

）

和

［

1 ,2

）

不是隔离的

.

又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，

而在离散空间中任何两个

无交的子集都是隔离的

. 

定义

4.1. 2

设

X

是一个拓扑空间

.

如果

X

中有两个非空的隔离子集

A

和

B

使得

X=A U B,

则称

X 

是一个不连通

空间；否则，则称

X

是一个连通空间

. 

显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间

. 

定理

4. 1. 1

设

X

是一个拓扑空间

.

则下列条件等价：

（

1

）

X

是一个不连通空间；

（

2

）

X

中存在着两个非空的闭子集

A

和

B

使得

AAB =

和

AU B = X

成立；

（

3

）

X

中存在着两个非空的开子集

A

和

B

使得

AAB=

和

A U B = X

成立；

（

4

）

X

中存在着一个既开又闭的非空真子集

. 

证明

（

1

）

蕴涵

（

2

）

:

设

（

1

）

成立

.

令

A

和

B

是

X

屮的两个非空的隔离子集使得

AUB = X,

显然

A n B=,

并且这时我们有

BBXB (AB) (B A) (B B) B 

因此

B

是

X

中的一个闭子集；同理

A

也是一个

X

屮的一个闭子集

.

这证明了集合

A

和

B