怎么证明两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数 |
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f(x),g(x)都是偶函数就可得出f(-x)=f(x), g(-x)=g(x) 两个偶函数相加f(x)+g(x)令为F(x) 则F(-x)=f(-x)+g(-x) =f(x)+g(x) =F(x) , 即 F(-x)=F(x), 说明F(x)还是偶函数,即:两个偶函数相加任为偶函数。 f(x),g(x)都是奇函数就可得出f(-x)=-f(x), g(-x)=-g(x)两个偶函数相加f(x)+g(x)令为F(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x) =-f(x)-g(x) =-【f(x)+g(x)】=-F(x) , 即 F(-x)=-F(x)。 说明F(x)还是奇函数,即:两个奇函数相加任为奇函数。 奇函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性,即已知是奇函数,它在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上也是增函数(减函数)。 偶函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性,即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上是减函数(增函数)。但由单调性不能倒导其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。 扩展资料: 偶函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)称为偶函数。 奇函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)称为奇函数。 定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。 f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称 点(x,y)→(-x,-y) 奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。 偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。 参考资料:百度百科——函数奇偶性 |
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