校验码

2024-03-09 16:23| 来源: 网络整理| 查看: 265

校验码——码距 https://blog.csdn.net/weixin_44330072/article/details/106860286

校验码——奇偶校验码 https://blog.csdn.net/weixin_44330072/article/details/106859838

校验码——海明码及码距 https://blog.csdn.net/weixin_44330072/article/details/106695425

其实校验码就是在码距的原理上产生的，码距越大校验能力，纠错能力越强，所以奇偶校验码、海明码、CRC码究其原理都是利用一系列规则提升一段码字的码距而已。

一、循环冗余校验码

在串行传送（磁盘、通讯）中，广泛采用循环冗余校验码（CRC）。CRC也是给信息码加上几位校验码，以增加整个编码系统的码距和查错纠错能力。 CRC的理论很复杂，一般书上只介绍已有生成多项式后计算校验码的方法。检错能力与生成多项式有关，只能根据书上的结论死记。循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为 N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2R，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。

几个基本概念

1、多项式与二进制数码多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。如生成多项式为 $G(x)=x^{4}+x^{3}+x+1$ ，可转换为二进制数码11011。而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为 $C(x)=x^{3}+x^{2}+x+1$ 。 2、生成多项式是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。应满足以下条件： a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。 b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。 c、不同位发生错误时，应该使余数不同。 d、对余数继续做模2除，应使余数循环。将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：

NK码距dG(x)多项式G(x)743 $x^{3}+x+1$ 1011743 $x^{3}+x^{2}+1$ 1101734 $x^{4}+x^{3}+x^{2}+1$ 11101734 $x^{4}+x^{2}+x+1$ 1011115113 $x^{4}+x+1$ 100111575 $x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{4}+1$ 11101000131263 $x^{5}+x^{2}+1$ 10010131215 $x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{6}+x^{5}+x^{3}+1$ 1110110100163573 $x^{6}+x+1$ 100001163515 $x^{12}+x^{10}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+1$ 101000011010110411024 $x^{16}+x^{15}+x^{2}+1$ 11000000000000101

图9 常用的生成多项式 3、模2除（按位除）模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减。步骤如下： a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。 b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。 c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。

【例】1111000除以1101：

CRC码的生成步骤 1、将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。 2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2R 3、用生成多项式（二进制数）对信息码做模2除，得到R位的余数。 4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。【例】假设使用的生成多项式是 $G(x)=x^{3}+x+1$ 。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。

解：

1、将生成多项式 $G(x)=x^{3}+x+1$ 转换成对应的二进制除数1011。 2、此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文C(x)左移3（R）位变成1010000 3、用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除：

1 0 0 1 ___________________ | 1 0 1 1 | 1 0 1 0 0 0 0 / 1 0 1 1 —————————————————— 0 0 1 0 0 0 0 0 —————————————————— 0 1 0 0 0 0 0 0 —————————————————— 1 0 0 0 1 0 1 1 —————————————————— 0 1 1 (余数，校验位)

4、编码后的报文（CRC码）：

1 0 1 0 0 0 0 + 0 1 1 ———————————————————— 1 0 1 0 0 1 1

CRC的和纠错

在接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0,则码字无误。若如果有一位出错，则余数不为0，而且不同位出错，其余数也不同。可以证明，余数与出错位的对应关系只与码制及生成多项式有关，而与待测?字（信息位）无关。图10给出了G(x)＝1011，C(x)＝1010的出错模式，改变C(x)（码字），只会改变表中码字内容，不改变余数与出错位的对应关系。

收到的CRC码字余数出错位 $A_{7}$ $A_{6}$ $A_{5}$ $A_{4}$ $A_{3}$ $A_{2}$ $A_{1}$ 1010011000无1010010001110100010102101011110031011011011

100001111051110011111600100111017

图10 (7,4)CRC码的出错模式（G(x)＝1011）

如果循环码有一位出错，用G(x)作模2除将得到一个不为0的余数。如果对余数补0继续除下去，我们将发现一个有趣的结果；各次余数将按图10顺序循环。例如第一位出错，余数将为001，补0后再除（补0后若最高位为1，则用除数做模2减取余；若最高位为0，则其最低3位就是余数），得到第二次余数为010。以后继续补0作模2除，依次得到余数为100，0ll…，反复循环，这就是“循环码”名称的由来。这是一个有价值的特点。如果我们在求出余数不为0后，一边对余数补0继续做模2除，同时让被检测的校验码字循环左移。图10说明，当出现余数 (101)时，出错位也移到A7位置。可通过异或门将它纠正后在下一次移位时送回A1。这样我们就不必像海明校验那样用译码电路对每一位提供纠正条件。当位数增多时，循环码校验能有效地降低硬件代价，这是它得以广泛应用的主要原因。

【例】对图10的CRC码（G(x)＝1011，C(x)＝1010），若接收端收到的码字为1010111，用G(x)＝1011做模2除得到一个不为0的余数100，说明传输有错。将此余数继续补0用G(x)＝1011作模2除，同时让码字循环左移1010111。做了4次后，得到余数为101，这时码字也循环左移4位，变成1111010。说明出错位已移到最高位A7，将最高位1取反后变成0111010。再将它循环左移3位，补足7次，出错位回到A3位，就成为一个正确的码字1010011。

其中一直好奇一个问题：为什么余数是100就是第三位出错，余数是101就是第七位出错呢。其实CRC码的出错模式是由它自己的校验码而决定的，所以应该就是发送方决定的，接收方并不知道。知道了才能纠错。这方面也没有特别固定的资料，有些书上说CRC码并不能纠错，只能重传，也有些说纠错很复杂不讨论等。但是也有比如武大考研题目就出了纠错的题，就很迷~

| 1 0 0 1|1 0 1 1 1 _______________|___________ | | 1011 | 1 0 1 0 1 1 1| / 1 0 1 1 | ———————————————|——————————— 0 0 1 1 | 0 0 0 0 | ———————————————|——————————— 0 1 1 1 | 0 0 0 0 | ———————————————|——————————— 1 1 1 1| 1 0 1 1| ———————————————|——————————— 1 0 0|0 1 0 1|1 ———————————————|——————————— 0 1|1 0 0 0|0 0 ———————————————|——————————— 1|1 0 0 1|0 1 1 ———————————————|——————————— |1 1 1 0 |1 0 1 1 ———————————————|——————————— | 1 0 1 0 |

通信与网络中常用的CRC 在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC码产生r 位的校验位。它只能检测出错误，而不能纠正错误。一般取r=16，标准的16位生成多项式有CRC-16＝ $X_{16}$ + $X_{15}$ + $X_{2}$ +1 和 CRC-CCITT＝ $X_{16}$ + $X_{15}$ + $X_{2}$ +1。一般情况下，r位生成多项式产生的CRC码可检测出所有的双错、奇数位错和突发长度小于等于 r的突发错以及（1-2-(r-1)）的突发长度为r+1的突发错和（1-2-r）的突发长度大于r+1的突发错。例如，对上述r=16的情况，就能检测出所有突发长度小于等于16的突发错以及99．997%的突发长度为17的突发错和99．998%的突发长度大于17的突发错。所以CRC码的检错能力还是很强的。这里，突发错误是指几乎是连续发生的一串错，突发长度就是指从出错的第一位到出错的最后一位的长度(但是，中间并不一定每一位都错)。

【例1】某循环冗余码（CRC）的生成多项式 G(x)＝x3+x2+1，用此生成多项式产生的冗余位，加在信息位后形成 CRC 码。若发送信息位 1111 和 1100 则它的 CRC 码分别为＿A＿和＿B＿。由于某种原因，使接收端收到了按某种规律可判断为出错的 CRC 码，例如码字＿C＿、＿D＿、和＿E＿。（1998年试题11）

供选择的答案:

A： ① 1111100 ② 1111101 ③ 1111110 ④ 1111111 B： ① 1100100 ② 1100101 ③ 1100110 ④ 1100111 C～E： ① 0000000 ② 0001100 ③ 0010111 ④ 0011010 ⑤ 1000110 ⑥ 1001111 ⑦ 1010001 ⑧ 1011000

解：

A：G(x)＝1101，C(x)＝1111 C(x)*23 ÷ G(x)＝1111000 ÷ 1101＝1011余111 得到的CRC码为1111111 B：G(x)＝1101，C(x)＝1100 C(x)*23 ÷ G(x)＝1100000 ÷ 1101＝1001余101 得到的CRC码为1100101 C～E：分别用G(x)＝1101对①~⑧作模2除: ① 0000000 ÷ 1101 余000 ② 1111101 ÷ 1101 余001 ③ 0010111 ÷ 1101 余000 ④ 0011010 ÷ 1101 余000 ⑤ 1000110 ÷ 1101 余000 ⑥ 1001111 ÷ 1101 余100 ⑦ 1010001 ÷ 1101 余000 ⑧ 1011000 ÷ 1101 余100 所以＿C＿、＿D＿和＿E＿的答案是② 、⑥ 、⑧。

【例2】计算机中常用的一种检错码是CRC，即 _A_ 码。在进行编码过程中要使用 _B_ 运算。假设使用的生成多项式是 G(X)=X4+X3+X+1，原始报文为11001010101，则编码后的报文为 _C_ 。CRC码 _D_ 的说法是正确的。在无线电通信中常采用它规定码字长为7位．并且其中总有且仅有3个“1”。这种码的编码效率为_E_。

供选择的答案：

A： ① 水平垂直奇偶校验 ② 循环求和 ③ 循环冗余 ④ 正比率 B： ① 模2除法 ② 定点二进制除法 ③ 二－十进制除法 ④ 循环移位法 C： ① 1100101010111 ② 110010101010011 ③ 110010101011100 ④ 110010101010101 D： ① 可纠正一位差错 ② 可检测所有偶数位错 ③ 可检测所有小于校验位长度的突发错 ④ 可检测所有小于、等于校验位长度的突发错 E： ① 3/7 ② 4/7 ③ $log_{2}3$ / $log_{2}7$ ④ ( $log_{2}35$ )/7

解：从前面有关CRC的论述中可得出：

A：② 循环冗余 B：① 模2除法 C：G(x)＝11011，C(x)＝11001010101，C(x)*24 ÷ G(x)＝110010101010000 ÷ 11011 余0011 得到的CRC码为② 110010101010011 D：从前面有关通信与网络中常用的CRC的论述中可得出：④ 可检测所有小于、等于校验位长度的突发错 E：定比码又叫定重码，是奇偶校验的推广。在定比码中，奇数或偶数的性质保持不变，然而附加一种限制，每个字中1的总数是固定的。随用途之不同，定比码要求的附加校验位可能多于一个，但较之单一的奇偶校验将增加更多的检错能力。所谓7中取3定比码，就是整个码字长度为7位，其中1的位数固定为3。所有128个7位代码（0000000～1111111）中只有1的位数固定为3的才是其合法码字。可以用求组合的公式求出其合法码字数为：C73＝7!/(3!* (7-3)!)＝7*6*5/(1*2*3)＝35 编码效率＝合法码字所需位数/码字总位数＝( $log_{2}35$ )/7

做题攻略：

【题1】假定要传输的数据长度为10位，对每个数据块进行CRC校验，根据CRC校验规则，要能检测并纠正一位错误，对应的CRC码的总位数为（）。

A. 4 B. 10 C. 13 D. 14

利用 $k+r\leqslant 2^{r}-1$ 来计算，k是信息位，r是校验位。选D。

【题2】设G(x)=1011，某(7,4)CRC校验码的编码序列为 $C_{7}C_{6}C_{5}C_{4}C_{3}C_{2}C_{1}$ ，假定CRC编码传输过程中最多只能发生一位错误，已知 $C_{1}$ 位出错时得到的余数是001，则 $C_{4}$ 位出错时接收方进行校验得到的余数是（）。

A. 010 B. 100 C. 011 D. 110

将余数（本题中是001）继续用校验码模2除的话出错位将左移。也就是001补0变成0010用1011进行模2除得到的余数将是 $C_{2}$ 出错时得到的余数，所以继续进行上述操作两次，将能得到 $C_{4}$ 位出错时得到的余数。选C。

【题3】设计待校验的信息为8位，假定传输中最多只发生一位错误，采用CRC校验时，生成多项式的二进制位数至少需要（）。

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

跟第一道题类似，通过公式能算出来需要4位校验码，5位生成多项式二进制数才能得到4位余数来做校验码。选C。

【题4】设待校验的信息长度为K位，生成多项式为G(x)，下列关于CRC校验的描述中正确的是（）。

A. 只有一位出错时，接收端进行校验得到的余数只与出错位的位置有关，与K位信息的取值和G(x)的取值无关 B. 只有一位出错时，接收端进行校验得到的余数与出错位位置和G(x)的取值有关，与K位信息的取值无关 C. 只有一位出错时，接收端进行校验得到的余数与出错位位置、G(x)及K位信息的取值都有关 D. CRC校验得到的无错结论不一定是正确的

根据上文内容本题很简单。选BD。

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