让我们首先了解什么是三体问题。三体问题(或 3BP)是更广泛的n体问题的特例，它涉及预测天体在彼此引力影响下的运动。与更简单的二体问题 (2BP) 不同，三体问题没有封闭形式的解。这意味着必须使用初始条件(位置和速度)和数值方法来估计物体的运动。对于实际应用，3BP 可以专注于围绕两个较大质量(也称为初选)运行的卫星的运动；这些可能是卫星、行星或恒星。

一颗卫星在两个较大的主星影响下的运动通常是混乱的，这意味着该运动很难预测。这就是我们使用现代数值方法尽可能准确地估计/预测此运动的原因。为了估计 3BP 运动，需要创建一个模型，其中涉及使用牛顿运动定律和牛顿万有引力定律。推导可能难以理解。这是一个更简单的推导，可以帮助您更好地理解后续的推导。现在，开始理解任何物理问题的最佳起点是精心绘制的图表。

上图显示了 3BP 的标准设置。初级表示为m₁和m₂，其中m₁通常是两个质量中较大的一个。卫星(或其运动感兴趣的物体)被标记为m₃。尽管我们将卫星标记为质量 3，但出于实际目的，与主卫星相比，该质量可以忽略不计。由于第三个质量被认为可以忽略不计，因此较大的两个质量的轨道可以被认为是圆锥 (2BP) 轨道。这大大简化了推导。此外，通常研究椭圆和圆形主轨道的特殊情况，称为椭圆限制 3BP (ER3BP) 或圆形限制 3BP (CR3BP)。

考虑到这一点，两个原色的重心或质心可以被认为是一个惯性点，标记为O。该系统中有两个固定在重心的坐标系：一个随原色旋转的旋转坐标系(x-和y -hat)和一个不旋转的惯性坐标系(X-和Y -hat)。在任何给定时间，这两个帧都以角度θ分隔。还有一些位置向量(d₁、d₂、r₁、r₂和ρ) 确定质量相对于惯性重心的位置(对于使用牛顿运动定律很重要)和m₃相对于原色的位置。此推导的相关向量是ρ，因为它将确定卫星的惯性运动。

可怕的词，我知道，但它并不像看起来那么复杂。这不是必要的步骤，但确实可以更轻松地推导 3BP 的运动方程。无量纲化是一种从问题中提取物理维度的方法，对于简化数学表达式很有用。让我们以 3BP 为例。我们可以如下定义质量、长度和时间的无量纲化参数(按照惯例)：

这里，a是两个原色运动的半长轴，G是万有引力常数。这可能还没有意义，所以我将演示如何将地月系统中的一组初始条件(本例中的两个初始条件)无量纲化。该特定系统的无量纲化参数为：

现在，如果我们有一个状态向量(位置和速度向量的组合)，那么我们可以按如下方式对其进行无量纲化：

请注意，无量纲向量没有单位，我们使用维度参数删除了km和s单位。此过程反向进行，因此如果您想重新添加维度，只需乘以或除以L、M或T*。

制定三体问题的最后也是最长的一步是推导可忽略质量m₃ 的运动方程。首先，我们需要做一些假设，其中一些已经提到过。我们假设m₃