几个月前，我们几个半吊子讨论了深空通信的问题, 原文看这里。今天，和天线专业的老师聊天，才弄清楚一些问题。看起来隔行如隔山。前面我们讨论的几个很民科的议题包括：

假设三维空间一个全向均匀的天线，向外发射电磁波。则在空间距离D处，这个球面所在位置的功率密度为 E = 1 A = 1 4 π D 2 E={1 \over A}={1 \over {4\pi D^2} } E=A1​=4πD21​ E的量纲为“每平方米”，即，如果发射能量为1单位，D距离（米）为半径的球面上，单位面积1平方米对应的能量为E单位。

在D距离处，有一个等效的全向天线（一个理想振子）。全向天线阵子可以理解是一个导线，等效面积究竟是多少呢？这里用到一个全向天线的“电尺寸”概念，一个全向理想振子的等效截面积是 S = λ 2 4 π S={\lambda^2 \over {4\pi } } S=4πλ2​ 上述波长 λ \lambda λ单位为“米”，后面发现这个单位“米”很关键。S量纲为“平方米”

收发合并后，接收到的能量密度：

R = E S = 1 4 π D 2 λ 2 4 π R=ES={1 \over {4\pi D^2} }{\lambda^2 \over {4\pi } } R=ES=4πD21​4πλ2​ R是比例（百分比），无量纲。由于波长等于光速除以频率，即： λ = C F \lambda= {C\over F} λ=FC​ 因此上式可以写为： R = E S = 1 4 π D 2 C 2 4 π F 2 R=ES={1 \over {4\pi D^2} }{C^2 \over {4\pi F^2 } } R=ES=4πD21​4πF2C2​ 注意，光速为 300000000米/秒，频率单位为赫兹（Hz）

出现常数的原因，是用d千米(km)表示距离D，用 f 兆赫兹(MHz)表示频率F。这样，上述公式变为： R = 1 4 π ( 1 0 3 d ) 2 ( 3 × 1 0 8 ) 2 4 π ( 1 0 6 f ) 2 = ( 3 40 π ) 2 ( 1 d ) 2 ( 1 f ) 2 R={1 \over {4\pi (10^3d)^2} }{(3 \times10^8 )^2 \over {4\pi (10^6f)^2 } }=({3\over{40\pi}})^2({1\over d})^2({1\over f})^2 R=4π(103d)21​4π(106f)2(3×108)2​=(40π3​)2(d1​)2(f1​)2 换算为分贝 r = 10 lg ⁡ R = 20 lg ⁡ 3 40 π − 20 lg ⁡ d − 20 lg ⁡ f = − 32.4 − 20 lg ⁡ d − 20 lg ⁡ f r = 10\lg R=20\lg {3\over{40\pi}}-20 \lg d -20 \lg f=-32.4-20 \lg d -20 \lg f r=10lgR=20lg40π3​−20lgd−20lgf=−32.4−20lgd−20lgf 可见，这个-32.4不是用温度、气压弄出来的经验值，而是因为使用了MHz、Km作为单位，结合光速折算出来的确切值，保留四位小数，就是 -32.4418。

天线的增益被定义为在某个方向、距离上收到的能量，与理想全向天线相同方向、距离上收到的能量的比值，也就是dBi (理想全向天线)，没有量纲。由于能量是守恒的，在一个方向上强，其他地方就肯定弱。下图是Matlab天线工具箱输出的某类天线的方向图（来自互联网)。 由于方向图描述的是与理想全向天线相比的比例，且在理想情况下，收、发具有互换一致性，因此，可以直接结合弗里斯公式进行增益叠加。这里需要注意的是，天线设计软件在计算方向图时，已经通过物理尺寸、波长，把“电尺寸”和“等效截面积”因素涵盖进去了。

对于具备反射面的天线，比如抛物面天线，其增益会非常集中。当天线尺寸显著大于波长时，可以使用面积大小直接比较增益的高低。在前文中，计算60米抛物面天线的增益应该与相应频段的等效理想全向馈源面积比较，而不是与1平方米的绝对值比较。经过天线专业老师的推测，60米天线的增益可高达70dBi以上。