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1、一阶微分方程：一阶微分方程是一类含自变量x与未知数y(x)及其一阶导函数y'(x)的方程，它可以表示为 F(x,y,y')=0 。

如果可以解出y'，可表示为： \frac{dy}{dx}=f(x,y)

2、一阶微分方程的其中一种解法--分离变量法：

形如 \frac{dy}{dx}=M(x)·N(y) ：

若N(y)≠0，我们可以化成（分离变量法）： \frac{1}{N(y)}dy=M(x)dx

然后两边同时积分： \int\frac{1}{N(y)}dy=\int M(x)dx ，则得结果： F(y)=G(x)+C

3、齐次方程：如果一阶微分方程可以化为如下形式： \frac{dy}{dx}=φ(\frac{y}{x}) ，则称此类方程为齐次方程。

4、齐次方程一般解法：引出新的位置变量函数 u=\frac{y}{x} ，就可以把它化成可以分离变量的方程！

（1）由u=\frac{y}{x}得到 y=ux

（2）两边取x的微分得到 \frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u ，并代入\frac{dy}{dx}=φ(\frac{y}{x})

（3）得到 u+x\frac{du}{dx}=φ(u) 再换一下位置 \frac{du}{φ(u)-u}=\frac{dx}{x}

（4）两边积分，得到 \int \frac{du}{φ(u)-u}=\int \frac{dx}{x}

（5）设 Φ(u) 是 \frac{1}{φ(u)-u} 的一个原函数，则得通解： Φ(u)=ln|x|+C ，再把 u=\frac{y}{x} 代回这个式子，就得到齐次方程的通解。

5、一些可以转化成一阶齐次微分方程的一阶微分方程：

形如 \frac{dy}{dx}=\frac{ax+by+c}{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}} ，其中 \frac{a}{a_{1}}≠\frac{b}{b_{1}} （原因是只有这样才可以解出h和k）

当c=c1=0时，方程是齐次的，否则是不齐次的。在非齐次型的情况下，可用以下步骤解：

（1）作代换 x=X+h ； y=Y+k 。

（2）求常数h和k：因为dx=dX；dy=dY。所以方程代换后变成：

\frac{dY}{dX}=\frac{aX+bY+(ah+bk+c)}{a_{1}X+b_{1}Y+(a_{1}h+b_{1}k+c_{1})} ，因为要使得方程是齐次，所以令后面的常数项为0，即 ah+bk+c=0 以及 a_{1}h+b_{1}k+c_{1}=0

联立这两个方程就可以解出h和k。

（3）求 \frac{dY}{dX}=\frac{aX+bY}{a_{1}X+b_{1}Y} 的通解后，把x-h代X，y-k代Y，就得到原方程的通解。

6、一阶线性微分方程的解法：（背公式）

方程： \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) 称为一阶线性方程。

其通解公式为： y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{P(x)dx}dx+C)

7、伯努利方程：形如 \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n}（n≠0,1）

解法步骤：n≠0,1时，上方程可以通过变换 z=y^{1-n} 转化成一阶线性微分方程！

（1）两边同时除以 y^{n} ，得到： y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)

（2）令z=y^{1-n}，则得到 \frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx} 即有 y^{-n}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}

（3）把 y^{-n}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx} 带入方程 y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) 则得到

\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) 这是关于z的一阶线性微分方程，再用公式法求出z即可

（4）利用变换 z=y^{1-n} 就可以得到y。

8、全微分方程：如果将一阶微分方程写成 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 形式后，如果左端恰好是某个函数 u=u(x,y) 的全微分： du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy 。

那么我们就把方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0（也可写成 du(x,y)=0 ）叫做全微分方程。

其中 \frac{∂u}{∂x}=P(x,y) ； \frac{∂u}{∂y}=Q(x,y)

9、全微分方程的充要条件： \frac{∂P}{∂y}=\frac{∂Q}{∂x} ，在区域G内恒成立，当满足此条件时，全微分方程的通解为： u(x,y)≡\int _{x_{0}}^{x}P(x,x_{0})dx+\int _{y_{0}}^{y}P(x,y)dy=C

10、可降阶的高阶微分方程

（1） y^{(n)}=f(x) 型：不断两边积分，积n次就好~

（2） y''=f(x,y') 型：

①作代换y'=p，将p看成未知函数p(x)，则 y''=\frac{dy'}{dx}=\frac{dp}{dx}

②把上式代入y''=f(x,y')得到 \frac{dp}{dx}=f(x,p)

③求解\frac{dp}{dx}=f(x,p)得到 p=φ(x,C1) ，由于 p=\frac{dy}{dx} ，即有 \frac{dy}{dx}=φ(x,C1)

④对它积分就可以得到 y=\int φ(x,C1)dx+C_{2}

（3） y''=f(y,y') 型：（此类方程的特征是右边没有x）

①令y'=p；将p看成是y的函数 p=p(y) ，利用复合函数的求导有 y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}

②于是方程y''=f(y,y')变为 p\frac{dp}{dy}=f(y,p) ，这是关于y和p的一阶微分方程，如果能求出 p=φ(y,C_{1}) ，即有 \frac{dy}{dx}=φ(y,C_{1})

③分离变量并积分，可以得到原方程的通解： \int \frac{dy}{φ(y,C_{1})}=x+C_{2}