多项式拟合一般方程法详细推导 |
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多项式拟合之一般方程法
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多项式拟合之一般方程法1 什么是多项式拟合?2 怎样拟合?3 求
b
b
b正交矩阵QR分解施密特正交化
matlab测试函数
之前经常会用到多项式拟合来拟合函数关系,十分好用,得出的表达式使用起来超级方便。在此对多项式拟合原理进行分析。 1 什么是多项式拟合?y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = ∑ i = 0 n a i x i \begin{aligned} y&=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n\\ &=\sum_{i=0}^{n}{a_ix^i} \end{aligned} y=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn=i=0∑naixi 这是多项式拟合的输出表达式。 2 怎样拟合?考虑输入样本数据如下: x = [ x 1 , x 2 , . . . , x m ] T y = [ y 1 , y 2 , . . . , y m ] T x=[x_1,x_2,...,x_m]^T\\ y=[y_1,y_2,...,y_m]^T x=[x1,x2,...,xm]Ty=[y1,y2,...,ym]T 构建方程组: y 1 = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 1 2 + ⋯ + a n x 1 n y 2 = a 0 + a 1 x 2 + a 2 x 2 2 + ⋯ + a n x 2 n ⋮ y m = a 0 + a 1 x m + a 2 x m 2 + ⋯ + a n x m n \begin{aligned} y_1&=a_0+a_1x_1+a_2x_1^2+\cdots +a_nx_1^n\\ y_2&=a_0+a_1x_2+a_2x_2^2+\cdots +a_nx_2^n\\ \vdots\\ y_m&=a_0+a_1x_m+a_2x_m^2+\cdots +a_nx_m^n\\ \end{aligned} y1y2⋮ym=a0+a1x1+a2x12+⋯+anx1n=a0+a1x2+a2x22+⋯+anx2n=a0+a1xm+a2xm2+⋯+anxmn 令: 则上面的方程组可以写为: A b = f Ab=f Ab=f 拟合过程就是求 b b b的过程 3 求 b b b现在一个很直观的想法,就是: A b = f b = A − 1 f \begin{aligned} Ab=f\\ b=A^{-1}f \end{aligned} Ab=fb=A−1f 但是,没这么简单。考虑一下矩阵维度 A [ m , n + 1 ] b [ n + 1 , 1 ] = f [ m , 1 ] A_{[m,n+1]}b_{[n+1,1]}=f_{[m,1]} A[m,n+1]b[n+1,1]=f[m,1] 强行规定输入的 x = [ x 1 , x 2 , . . . , x m ] x=[x_1,x_2,...,x_m] x=[x1,x2,...,xm]不能重复,则 A A A的各个列向量都线性无关 当 m = n + 1 m=n+1 m=n+1时, A A A是可逆矩阵,可以直接计算 当 m < n + 1 mn+1 m>n+1时,怎么算呢? 正交矩阵对于一个矩阵A,如果有 A A T = E AA^T=E AAT=E,则称之为正交矩阵 QR分解将一个矩阵A,分解为一个正交矩阵和一个非奇异上三角阵的过程 A [ m , n + 1 ] = Q [ m , n + 1 ] R [ n + 1 , n + 1 ] A_{[m,n+1]}=Q_{[m,n+1]}R_{[n+1,n+1]} A[m,n+1]=Q[m,n+1]R[n+1,n+1] 其中 Q Q Q是正交矩阵, R R R是非奇异上三角阵 那么,如何进行QR分解呢? 施密特正交化这个请大家自行学习。 完成QR分解后 A b = f Q R b = f R b = Q T f b = R − 1 Q t f \begin{aligned} Ab &= f\\ QRb&=f\\ Rb&=Q^Tf\\ b&=R^{-1}Q^tf \end{aligned} AbQRbRbb=f=f=QTf=R−1Qtf matlab测试函数测试数据 拟合与测试 mypolyfit函数 function c = mypolyfit(x,f,n) A = x.^(0:n); c = A\f;mypolyval函数 function y = mypolyval(c,s) n = length(c)-1; B = s.^(0:n); y = B*c; |
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