正多边形――属性 |
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正多边形的属性
多边形
多边形是边是直线的平面(二维)图形,例如三角形、四边形、五边形、六边形等等。 规则"规则(正)多边形": 所有边长度相等, 所有角大小相等。否则便是个 不规则多边形。 规则(正)五边形 不规则五边形在这里我们只谈正多边形。 属性我们可以谈什么属性?首先,可以谈谈多边形的角。 外角外角是多边形任何一条边与邻边的延长线之间的角。 多边形所有的外角加起来是 360°,所以: 每个外角等于 360°/n (n 是边的个数)
按 play 钮来看看。 (正八边形的)外角 例子:正八边形的外角有多大?
八边形有八条边,所以: 外角 = 360°/n = 360°/8 = 45° 内角内角与外角都是在同一条线上,所以它们的和是 180°。 内角 = 180° − 外角 外角 = 360°/n,所以: 内角 = 180° − 360°/n 这可以重排成: 内角 = 180° − 360°/n = (n × 180° / n) − (2 × 180° / n) = (n−2) × 180°/n所以: 内角 = (n−2) × 180° / n 例子:正八边形的内角有多大? 正八边形有八条边,所以: 外角 = 360° / 8 = 45° 内角 = 180° − 45° = 135° (正八边形的)内角 我们也可以用: 内角 = (n−2) × 180° / n = (8−2) × 180° / 8 = 6 × 180° / 8 = 135° 例子:正六边形的内角和外角有多大?正六边形有六条边,所以: 外角 = 360° / 6 = 60° 内角 = 180° − 60° = 120° 名称: "外接圆、内接圆、半径和边心距……"这是多边形 "外面" 和 "里面" 的圆和半径,像这样:
"外面" 的圆叫外接圆,它连接多边形所有的顶点(角)。 外接圆的半径也是多边形的半径。
"里面" 的圆叫内接圆,它刚好接触多边形每一条边的中点。 内接圆的半径是多边形的边心距。
(不是所有的多边形都有这些属性的,但三角形和正多边形有)。 拆成三角形我们可以把多边形拆成三角形来更具体地分析多边形的属性: 注意: 三角形的 "底" 是多边形的边。 三角形的 "高" 是多边形的 "边心距"三角形的面积是底乘高的一半: 一个三角形的面积 = 底 × 高 / 2 = 边长 × 边心距 / 2 整个多边形的面积是所有三角形面积的和(总共有 "n" 个): 多边形面积 = n × 边长 × 边心距 / 2 周长是 = n × 边长,所以: 多边形面积 = 周长 × 边心距 / 2 小三角形再把三角形一分为二: (注意:角的单位是弧度,而不是角度)
小三角形是直角三角形,我们可以用 正弦、余弦和正切函数来分析边长、半径、边心距和 "n" 的关系: sin(π/n) = (边长/2) / 半径 边长 = 2 × 半径 × sin(π/n) cos(π/n) = 边心距 / 半径 边心距 = 半径 × cos(π/n) tan(π/n) = (边长/2) / 边心距 边长 = 2 × 边心距 × tan(π/n)还有很多类似的关系(大部分都是可以互相"转换的"),但在这里我们就谈这么多。 更多面积公式如果我们只知道边心距,我们可以这样求面积: 小三角形的面积 = ½ × 边心距 × (边长/2)
从上面的 "tan" 公式,我们知道: 边长 = 2 × 边心距 × tan(π/n) 因此: 小三角形面积 = ½ × 边心距 × (边心距 × tan(π/n)) = ½ × 边心距2 × tan(π/n)每边有两个这样的三角形,总共有 2n 个: 多边形面积 = n × 边心距2 × tan(π/n) 如果我们不知道边心距,我们可以用同一个公式,但以半径或者边长为变量: 多边形面积 = ½ × n × 半径2 × sin(2 × π/n) 多边形面积 = ¼ × n × 边长2 / tan(π/n) 数值列表这是不同多边形的边长、边心距和面积的值(半径为 "1"): 种类 名称 (正多边形) 边个数 (n) 图形 内角 半径 边长 边心距 面积 三角形 等边 三角形 3 60° 1 1.732 (√3) 0.5 1.299 (¾√3) 四边形 正方形 4 90° 1 1.414 (√2) 0.707 (1/√2) 2 五边形 正 五边形 5 108° 1 1.176 0.809 2.378 六边形 正 六边形 6 120° 1 1 0.866 (½√3) 2.598 ((3/2)√3) 七边形 正 七边形 7 128.571° 1 0.868 0.901 2.736 八边形 正 八边形 8 135° 1 0.765 0.924 2.828 (2√2) …… …… 五十边形 正 五十边形 50 172.8° 1 0.126 0.998 3.133 (注意:数值精确到三位小数)图 这是上面列表的图,边个数从 3 到 30。 留意当 "n" 越来越大,边心距趋近 1(等于半径),面积趋近 π = 3.14159……和圆形一样。 边长趋近什么? 多边形 多边形的对角线 正弦、余弦和正切 几何索引 |
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