多边形内角和公式的推导 |
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一、知识回顾 1、多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 2、三角形内角和等于180度。 二、产生问题 问题一:除了三角形外,其他多边形的内角和是多少? 首先研究四边形,对于特殊的矩形,例如正方形、长方形,容易发现每个内角都是90度,那么内角和为360度。 ![]() 问题二:特殊四边形的内角和是360度,那么任意的四边形的内角和是否也是360度呢? 最简单直接的方法就是采用量角器去测量每个内角的度数,再求出这个四边形的内角和。然后会发现不止特殊四边形的内角和度数为360度,任意的四边形的内角和的度数也为360度。 那除了测量,我们还能怎样得出这个结论?从三角形的180度到四边形的360度,是不是含有某种规律呢?如果有规律,这种规律可以应用到更多边数的多边形上吗? 方法一: 对于任意的四边形,如果我们连接相对的顶点,会出现两个三角形!这样能发现什么呢? ![]() 我们很快得到:任意的四边形,均可分成两个三角形,内角和是2倍的三角形内角和,也就是360度。 那么这种方法在更多边数的多边形求内角和时还能用吗?如果能用的话,应该怎样划分呢? 前面,我们连接了四边形中相对的顶点,对于五边形,这个作法失效了,但是,我们连接的目的是求出内角和,我们利用了连接线段,将四边形分割为两个三角形,进而得到内角和,那五边形从这个分割三角形的角度可以做吗? 答案显然是可以的。 ![]() 四边形可以分割为2个三角形,五边形、六边形分别分割为3、4个三角形,这其中会有规律吗?下面我们简单将其列成表格: ![]() 根据对应关系,我们很快就得到n边形内角和公式是:(n-2)*180度 方法二: 除此之外,我们利用三角形进行分割的方式还有很多,法一的根本在于从一个顶点出发,连接其他顶点构成三角形,那如果不从顶点出发而在内部任选一点呢? ![]() 显然,这个方法也可行,仍利用了三角形内角和,但在凑角度时会发现,所有三角形在内部点处凑成了一个周角,所以要减去360度,此时,有几个顶点就能分成几个三角形,一样可以得到我们的多边形内角和是:(n-2)*180度 三、总结 ![]() 从三角形、四边形、五边形等多边形分割,我们利用不同的分割方式得出了同样的结论,特殊到一般之间的转化思想在许多不起眼的地方已经体现,除了上文的两种方法,可以尝试继续移动分割的起点,看看是否能得到多边形的内角和公式吧!
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