为了简化下面的高斯分布都是按照零均值写的

一元高斯的标准形式：

多元高斯的标准形式：

下面推导为什么一般的多元高斯具有形式：

核心观点：所有的非奇异的多元高斯分布都是以多元标准高斯分布为基础，通过非奇异矩阵 进行坐标变换而来的

假设对于一般的多元高斯分布 有

那么

因此

这样应该就可以理解公式里面为什么会有协方差矩阵了

代码示例

以二维高斯为例

数据变换

验证

可以看出转化后的数据Y的协方差

作者：Hao Zen链接：https://www.zhihu.com/question/21024811/answer/228812435来源：知乎著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

一个例子：http://caifuhao.eastmoney.com/news/20171018074421442120410

还是对计算机的监测，我们发现CPU负载和占用内存之间，存在正相关关系。

CPU负负载增加的时候占用内存也会增加：

假如我们有一个数据，x1 的值是在 0.4 和 0.6 之间，x2 的值是在 1.6 和 1.8 之间，就是下图中的绿点：

它明显偏离了正常的范围，所以是一个异常的数据。

但如果单独从CPU负载和占用内存的角度来看，该数据却是混杂正常数据之中，处于正常的范围：

这个异常的数据会被认为是正常的，因为我们得到模型的轮廓图是这样的：

为了改良这样的情况，我们需要把特征之间的相关性考虑进来。

第一种方式我们在上一篇笔记中有提到，就是增加一个新的特征 x3 ，把两者的相关性考虑进去：

另外一种方式就是形成多元高斯分布（Multivariate Gaussian Distribution），自动捕捉特征之间的相关性，公式如下：

其中 μ 为特征的均值，是一个 n � 1 的向量：

Σ 为 特征的协方差，是一个 n � n 的矩阵：

假设我们的均值与协方差的初始值和对应的三维图形与轮廓图如下：

μ 决定的是中心的位置，改变 μ 的值意味着中心的移动：

协方差矩阵控制的是对概率密度的敏感度。

例如某个方向的协方差越小，那么随着在该方向上的水平位移，高度的变化就越大。

首先我们看看各个特征不相关（正交）的情况：

我们再看一下考虑特征相关性的情况，下面两个图片分别到正相关和负相关的变化：

你看之前的模型 p(x) 会把异常数据认定为正常，而到了多元高斯分布的模型中，就得到了很好的解决：

之前的模型：

其实是多元高斯分布的一种特例，就是协方差矩阵 Σ 为对角矩阵的情况：

进行一个简单的推演你就明白了。

假设我们只有两个特征：

那么均值和协方差矩阵分别是：

把它们代入到多元高斯分布的公式中，可以推演得到：

二元高斯分布的密度函数，其实就是两个独立的高斯分部密度的乘积，特征更多的情况也是类似的。

需要注意的是，这里的推导不是证明的过程，仅仅是为了让你更好地理解两者的关系。

我们知道有这么两种方式可以处理特征之间的相关关系，那么应该如何选择呢？

这个需要根据具体的现实条件进行选择。

下表是两者的对比：