正态分布，又称Gauss分布，其概率密度函数入下图所示

正态分布 N ( μ , σ ) N(\mu, \sigma) N(μ,σ)受到期望 μ \mu μ和方差 σ 2 \sigma^2 σ2的调控，其概率密度函数为

1 2 π σ 2 exp ⁡ [ − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ] \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}] 2πσ2 ​1​exp[−2σ2(x−μ)2​]

当 μ = 0 \mu=0 μ=0而 σ = 1 \sigma=1 σ=1时，为标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)，对应概率分布函数为 Φ ( x ) = 1 2 π exp ⁡ [ − x 2 2 ] \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp[-\frac{x^2}{2}] Φ(x)=2π ​1​exp[−2x2​]。

在布朗运动中，高斯分布描述的是某一固定时刻距离的分布；而逆高斯分布则是达到固定距离所需时间的分布。

所以逆高斯分布的逆取自于物理意义，而非在表达式上有什么“逆”的地方，其PDF为

p ( x ) = λ 2 π x 3 exp ⁡ [ − λ ( x − μ ) 2 2 μ 2 x ] p(x)=\sqrt{\frac{\lambda}{2\pi x^3}}\exp[-\frac{\lambda(x-\mu)^2}{2\mu^2x}] p(x)=2πx3λ​ ​exp[−2μ2xλ(x−μ)2​]

在scipy.stats中提供了invgauss函数，但其默认 λ = 1 \lambda=1 λ=1。当 λ \lambda λ趋近于无穷大时，逆高斯分布趋向于高斯分布。

特别地，当 μ = λ = 1 \mu=\lambda=1 μ=λ=1时，逆高斯分布又被称为Wald分布，其概率密度函数表达式为

p ( x ) = 1 2 π x 3 exp ⁡ [ − ( x − 1 ) 2 2 x ] p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi x^3}}\exp[-\frac{(x-1)^2}{2x}] p(x)=2πx3 ​1​exp[−2x(x−1)2​]

scipy.stats中也封装了wald函数，即wald。

通过正态分布和均匀分布的随机数，可以生成逆高斯分布的随机数，设 ν \nu ν服从标准正态分布；z服从标准均匀分布，则令

x = μ + μ 2 ν 2 2 λ − μ 2 λ 4 μ λ ν 2 + μ 2 ν 4 x=\mu+\frac{\mu^2\nu^2}{2\lambda}-\frac{\mu}{2\lambda}\sqrt{4\mu\lambda\nu^2+\mu^2\nu^4} x=μ+2λμ2ν2​−2λμ​4μλν2+μ2ν4 ​

若 z ⩽ μ μ + x z\leqslant\frac{\mu}{\mu+x} z⩽μ+xμ​，则返回 x x x，否则返回 μ 2 x \frac{\mu^2}{x} xμ2​

考虑到invgauss默认 λ = 1 \lambda=1 λ=1，所以 x x x的生成式改为 x = μ + μ 2 ν 2 2 − μ 2 4 μ ν 2 + μ 2 ν 4 x=\mu+\frac{\mu^2\nu^2}{2}-\frac{\mu}{2}\sqrt{4\mu\nu^2+\mu^2\nu^4} x=μ+2μ2ν2​−2μ​4μν2+μ2ν4 ​