本章的目的是引入关于Brown运动的积分，讨论其性质并给出在随机分析及金融学中有着重要应用的Itô公式. 为了从理论上更严格， 这一章的内容参考了北京大学刘勇教授的《应用随机分析》课程讲义(刘勇 2022)。

我们从讨论关于简单的随机游动的积分开始. 设\(X_1, X_2, \dots\)相互独立， 都以各自\(\frac{1}{2}\)概率分别取\(+1\)和\(-1\)值， \[ S_n = \sum_{k=1}^n X_k \] 是对称随机游动，\(S_0=0\)， \({\mathscr F}_n = \sigma(X_1, \dots, X_n)\)。

令\(B_n\)是\({\mathscr F}_{n-1}\)可测的随机变量序列， 比如它表示第\(n\)次赌博时所下赌注， 则它只能利用第\(n-1\)次及以前的信息， 而不能利用第\(n\)次赌博的结果. 于是到时刻\(n\)的收益\(Z_n\)为（参见例6.4） \[ Z_n = \sum_{i=1}^n B_i X_i = \sum_{i=1}^n B_i (S_i - S_{i-1}) = \sum_{i=1}^n B_i \Delta S_i, \] 这里\(\Delta S_i = S_i - S_{i-1}\), 我们称\(Z_n\)为\(B_n\)关于\(S_n\)的随机积分.

容易看出\(\{Z_n\}\)是关于\({\mathscr F}_n\)的鞅。 事实上， \[\begin{aligned} E(Z_n | \mathscr F_{n-1}) =& E \left( \left. \sum_{i=1}^{n-1} B_i X_i \; \right|\; \mathscr F_{n-1} \right) + E(B_n X_n | \mathscr F_{n-1}) \\ =& \sum_{i=1}^{n-1} B_i X_i + B_n E(X_n | \mathscr F_{n-1}) \\ =& \sum_{i=1}^{n-1} B_i X_i + B_n E(X_n) \\ =& \sum_{i=1}^{n-1} B_i X_i + 0 \\ =& Z_{n-1} , \end{aligned}\]

易见\(对0 \leq m < n\)有 \[\begin{aligned} & E[Z_n | {\mathscr F}_m] \\ =& E[ E(Z_n | {\mathscr F}_{n-1}) \,|\, {\mathscr F}_m] = E[Z_{{n-1}} | {\mathscr F}_m] ] \\ =& \cdots = E[Z_{{m+1}} | {\mathscr F}_m] ] = Z_m . \end{aligned}\] 特别地, \(E[Z_n] = E[Z_0] = 0\).

如果假定\(E[B_n^2] < \infty\)，则 \[ \text{Var}[Z_n] = E[Z_n^2] = \sum_{i=1}^n E[B_i^2] . \] 事实上， \[ Z_n^2 = \sum_{i=1}^n B_i^2 X_i^2 + 2\sum_{1 \leq i < j \leq n} B_i B_j X_i X_j, \] 再注意到\(X_i^2=1\)， 如果\(i 0\), \(\exists M > 0\)使得 \[ \sup_{n \geq 1} P(|X_n| > M) < \epsilon . \]

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与\([d B(t)]^2 = dt\)类似的结论有\((dt)^2 = 0\), \(dB(t) \,dt = 0\)， 其严格含义为如下定理。

定理8.7 设\(g(x)\)是\(\mathbb R\)上的连续函数， \(\{t_i^n\}\)是\([0,t]\)的分割， 则对\(B(t_i^n)\)和\(B(t_{i+1}^n)\)之间的任意值\(\theta_i^n\)， 有 \[\begin{align} & \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} g(\theta_i^n) (t_{i+1}^n - t_i^n)^2 = 0, \text{ a.s.,} \tag{8.9} \\ & \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} g(\theta_i^n) [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)] (t_{i+1}^n - t_i^n) = 0 , \text{ a.s.} \tag{8.10} \end{align}\] 将这两个结论记作 \[ dt\,dt = 0, \quad dB(t) \,dt = 0 . \]

证明： \[\begin{aligned} & \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} |g(\theta_i^n)| (t_{i+1}^n - t_i^n)^2 \\ \leq& \lim_{\delta_n \to 0} \delta_n \sum_{i=0}^{n-1} |g(\theta_i^n)| (t_{i+1}^n - t_i^n) \\ =& \lim_{\delta_n \to 0} \delta_n \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} |g(\theta_i^n)| (t_{i+1}^n - t_i^n) \\ =& 0 \times \int_0^t |g(B(s))| \,ds = 0 , \text{ a.s.} \end{aligned}\] 这时因为\(g(x)\)连续而\(B(s)\)轨道连续则\(|g(B(s))|\)轨道连续， 于是可积。

另一方面， \[\begin{aligned} & \sum_{i=0}^{n-1} |g(\theta_i^n)| \cdot |B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)| \cdot (t_{i+1}^n - t_i^n) \\ \leq& \max_i |B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)| \cdot \sum_{i=0}^{n-1} |g(\theta_i^n)| (t_{i+1}^n - t_i^n), \end{aligned}\] 因为\(B(s)\)轨道连续所以在\([0, t]\)轨道一致连续， 有 \[ \lim_{\delta_n \to 0} \max_i |B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)| = 0 , \text{ a.s.} \] 而 \[ \sum_{i=0}^{n-1} |g(\theta_i^n)| (t_{i+1}^n - t_i^n) \to \int_0^t |g(B(s))| \,ds, \text{ a.s.}, \] 所以有 \[ \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} |g(\theta_i^n)| \cdot |B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)| \cdot (t_{i+1}^n - t_i^n) = 0 . \] ○○○○○○

对于普通的微积分， 我们有微分链式法则： \[ d f(g(t)) = f'(g(t)) \,d g(t) = f'(g(t)) g'(t) , \] 和积分变量替换法则： \[\begin{aligned} & \int_0^t f'(g(s)) \,d g(s) \\ =& \int_{g(0)}^{g(t)} f'(u) \,du \\ =& f(g(t)) - f(g(0)) . \end{aligned}\] 对上式求导， 则得到 \[ f'(g(t)) d g(t) = d[f(g(t))] . \] 如果是Itô积分， 是否有： \[ d f(B(t)) = f'(B(t)) d B(t) , \] 或者 \[ \int_0^t f'(B(s)) d B(s) = f(B(t)) - f(B(0)) ? \] 答案是否定的， 因为\(B(t)\)不可微。

我们给出布朗运动的变换的Itô公式， 这相当于是对上述问题的修正结果。 公式比普通微积分多出了一项\(\frac{1}{2} \int_0^t f''(B(s)) \, ds\)， 这是由布朗运动的二次变差非零引起的。 注意连续可微函数的二次变差等于零。

定理8.8 如果\(f(x)\)是二次连续可微函数， 则对任何\(t \geq 0\)， 有 \[\begin{equation} f(B(t)) = f(0) + \int_0^t f'(B(s)) \,dB(s) + \frac{1}{2} \int_0^t f''(B(s)) \, ds . \tag{8.11} \end{equation}\]

证明： 因为\(f'(B(s))\)轨道连续，适应， \(\int_0^t [f'(B(s))]^2 \,ds < \infty\), a.s.， 所以\(\int_0^t f'(B(s)) \,dB(s)\)的被积函数属于\(V^*\)， 是Itô积分。 因为\(f''(B(s))\)轨道连续所以\(\int_0^t f''(B(s)) \, ds\)在a.s.的黎曼积分意义下有定义。

取\([0,t]\)的分割\(\{ t_i^n \}\)， \(0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = t\), 有 \[ f(B(t)) = f(0) + \sum_{i=0}^{n-1}[f(B(t_{i+1}^n)) - f(B(t_i^n))] . \] 对\(f(B(t_{i+1}^n)) - f(B(t_i^n))\)每条轨道应用Taylor公式得 \[ f(B(t_{i+1}^n)) - f(B(t_i^n)) = f'(B(t_i^n)) [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)] + \frac{1}{2} f''(\theta_i^n) [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)]^2, \] 其中\(\theta_i^n\)取值于\(B(t_{i}^n)\)和\(B(t_{i+1}^n)\)之间. 于是 \[\begin{aligned} f(B(t)) =& f(0) + \sum_{i=0}^{n-1} f'(B(t_i^n)) [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)] \\ & + \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1} f''(\theta_i^n) [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n) ]^2 . \end{aligned}\] 令\(\delta_n \to 0\)取极限， 则上式的第一个和收敛于Itô积分\(\int_0^t f'(B(s)) \,dB(s)\), 利用定理8.6可知第二个和收敛于\(\int_0^t f''(B(s)) \,ds\), 都是依概率极限。

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注1：式(8.11)称为布朗运动的伊藤公式（Itô公式）。 也可以形式地写成 \[\begin{align} d f(B(t)) = f'(B(t)) \,d B(t) + \frac{1}{2} f''(B(t)) \,dt . \tag{8.12} \end{align}\]

为了帮助记忆(8.12)， 可以利用\(f(B(t))\)的泰勒展开形式地认识到 \[\begin{aligned} & d f(B(t)) \\ =& f'(B(t)) \,d B(t) + \frac{1}{2} f''(B(t)) [d B(t)]^2 + o([d B(t)]^2) \\ =& f'(B(t)) \,d B(t) + \frac{1}{2} f''(B(t)) \,dt + o(dt), \end{aligned}\] 其中\([d B(t)]^2 = dt\)的严格含义是定理8.6。

注2：在定理8.8的证明中， 为什么不直接使用一阶泰勒展开，如： \[ f(B(t_{i+1}^n)) - f(B(t_i^n)) = f'(\theta_i^n) [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)], \] 其中\(\theta_i^n\)取值于\(B(t_{i}^n)\)和\(B(t_{i+1}^n)\)之间, 从而 \[\begin{aligned} f(B(t)) =& f(0) + \lim_{\delta_n \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} f'(\theta_i^n) [B(t_{i+1}^n) - B(t_i^n)] \\ =& f(0) + \int_0^t f'(B(s)) \,d B(s) ? \end{aligned}\] 这是因为\(\theta_i^n\)的选取会影响到极限结果， 参见例8.4。 于是进行了二阶泰勒展开， 使得\(f'(\cdot)\)的自变量固定取为小区间左端点处的值\(B(t_i^n)\)， 这恰好符合Itô积分定义。

注3：为了使得定理更严格， 可以增加条件 \[ \int_0^T E\{[f'(B(s))]^2 \} \,ds < \infty, \quad \int_0^T |f''(B(s))| \,ds < \infty, \text{ a.s.} \] 但Itô公式在更一般的条件下适用。

例8.6 计算\(\int_0^t B(u) \,d B(u)\)。

解： 在例8.1中我们已经计算了这个积分的均值和方差， 并用定义给出了积分结果。下面用Itô公式计算。 这里\(f'(x) = x\)， 从而\(f(x) = \frac{1}{2} x^2\)， \(f''(x) = 1\)， 则由伊藤公式 \[\begin{aligned} \frac{1}{2} B^2(t) =& f(B(t)) \\ =& f(0) + \int_0^t f'(B(s)) \,dB(s) + \frac{1}{2} \int_0^t f''(B(s)) \,ds \\ =& 0 + \int_0^t B(s) \,dB(s) + \frac{1}{2} \int_0^t 1 \,ds \\ =& \int_0^t B(s) \,dB(s) + \frac{t}{2} . \end{aligned}\] 即有 \[ \int_0^t B(s) \,dB(s) = \frac{1}{2} B^2(t) - \frac{t}{2} . \]

如果\(B(t)\)换成某个可微函数\(h(t)\)，\(h(0)=0\)，则结果应为 \[ \int_0^t f'(h(u)) dh(u) = \int_0^t d f(h(u)) = \frac{1}{2} h^2(t), \] 没有\(-\frac{t}{2}\)这一项。

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例8.7 计算\(d(e^{B(t)})\)。

解： 令\(f(B(t)) = e^{B(t)}\)， 注意\(f'(x) = f''(x) = e^x\), 所以 \[\begin{aligned} d(e^{B(t)}) =& d f(B(t)) \\ =& f'(B(t)) \,dB(t) + \frac{1}{2} f''(B(t)) \,dt \\ =& e^{B(t)} \,dB(t) + \frac{1}{2} e^{B(t)} \,dt . \end{aligned}\]

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由式(8.11)看出， 布朗运动的函数可以表示为一个Itô积分加上一个轨道绝对连续的过程. 我们称这类过程为Itô过程，严格地，我们有下面定义.

定义8.5 如果过程\(\{ Y(t), 0 \leq t \leq T \}\)可以表示为 \[\begin{equation} Y(t) = Y(0) + \int_0^t \mu(s) \,ds + \int_0^t \sigma(s) dB(s), \ 0 \leq t \leq T, \tag{8.13} \end{equation}\] 其中过程\(\{ \mu(t) \}\)和\(\{ \sigma(t) \}\)满足

(1) \(\mu(t)\)是适应的并且\(\int_0^T |\mu(t)| \,dt < \infty\), a.s.,

(2) \(\{ \sigma(t) \} \in V^*\).

则称\(\{ Y(t) \}\)为Itô过程.

有时我们也将Itô过程(8.13)记为微分的形式 \[\begin{equation} d Y(t) = \mu(t) \, dt + \sigma(t) \,dB(t), \ 0 \leq t \leq T . \tag{8.14} \end{equation}\] 其中函数\(\mu(t)\)称为漂移系数, \(\sigma(t)\)称为扩散系数, 它们可以依赖于\(Y(t)\)或\(B(t)\)， 甚至过去的路径\(\{B(s), 0 \leq s \leq t\}\)， 例如\(\mu(t) =\cos (M(t) + t)\)， 这里\(M(t) = \max_{0 \leq s \leq t} B(s)\).

一类非常重要的情形是\(\mu(t)\)与\(\sigma(t)\)仅仅通过\(Y(t)\)依赖于\(t\)， 在这种情况下， 式(8.14)应改写为 \[\begin{equation} d Y(t) = \mu(Y(t)) \,dt + \sigma(Y(t)) \,dB(t), \ 0 \leq t \leq T . \tag{8.15} \end{equation}\]

例8.8 股票投资的随机微分方程。

解： 在金融应用中，股票的价格\(S(t)\)是用随机微分方程 \[ dS(t) = \mu S(t) \, dt + \sigma S(t) \,dB(t) \] 描述的. 上述方程也可以写成 \[ \frac{d S(t)}{S(t)} = \mu \,dt + \sigma \,dB(t), \] 即股价增长率包括一个恒定速率的部分和一个随机部分， 随机部分的方差为\(\sigma^2 \,dt\)。

如果\(a(t)\)表示在时刻\(t\)投资者的股票持仓量， 那么在整个时间区间\([0,T]\)内的收益为 \[ \int_0^T a(t) \,dS(t) = \mu \int^T_0 a(t) S(t) \, dt + \sigma \int_0^T a(t)S(t) \, dB(t) . \]

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关于Itô过程可以给出其链式法则的Itô公式：

定理8.9 设\(\{ X(t) \}\)是由 \[ dX(t) = \mu(t) \,dt + \sigma(t) \,dB(t) \] 给出的Itô过程， \(g(t,x)\)是\([0,\infty) \times {\mathbb R}\)上的二次连续可微函数. 则 \[ \{ Y(t) = g(t, X(t)), t \geq 0 \} \] 仍为Itô过程， 并且 \[\begin{equation} dY(t) = \frac{\partial g}{\partial t}(t,X(t)) \,dt +\frac{\partial g}{\partial x}(t,X(t)) \, dX(t) +\frac{1}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(t,X(t)) \cdot (dX(t))^2 , \tag{8.16} \end{equation}\] 其中\((dX(t))^2 = (dX(t)) \cdot (dX(t))\)按照下面规则计算： \[ dt \cdot dt=dt \cdot dB(t) = dB(t) \cdot dt=0, \quad dB(t) \cdot dB(t) = dt . \] 即 \[\begin{align} dY(t) =& \left( \frac{\partial g}{\partial t}(t,X(t)) + \frac{\partial g}{\partial x}(t,X(t)) \mu(t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2g}{\partial x^2}(t,X(t)) \sigma^2(t) \right) \,dt \\ & + \frac{\partial g}{\partial x}(t,X(t))\sigma(t)dB(t) . \tag{8.17} \end{align}\]

特别地， 如果\(g(t,x) = g(x)\)只是\(x\)的函数， (8.17)简化为 \[\begin{align} dY(t) =& \left[g'(X(t)) \mu(t) + \frac{1}{2} g''(X(t)) \sigma^2(t) \right] \,dt \\ & + g'(X(t)) \sigma(t) \,dB(t) . \tag{8.18} \end{align}\]

证明： 我们形式地对公式进行证明。 将\(g(t, x)\)进行二阶Taylor展开并取\(x = X(t)\)， 有 \[\begin{aligned} d g(t, X(t)) =& \frac{\partial}{\partial t} g(t, X(t)) \,dt + \frac{\partial}{\partial x} g(t, X(t)) \,dX(t) \\ & + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} g(t, X(t)) \,dt\,dt \\ & + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} g(t, X(t)) \,dX(t)\,dX(t) \\ & + \frac{\partial^2}{\partial t \partial x} g(t, X(t)) \,dt\,dX(t) \\ =& \frac{\partial}{\partial t} g(t, X(t)) \,dt + \frac{\partial}{\partial x} g(t, X(t)) \,dX(t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} g(t, X(t)) \,dX(t)\,dX(t) . \end{aligned}\]

将\(dX(t) = \mu(t) \,dt + \sigma(t) \,dB(t)\)代入， 并注意 \[\begin{aligned} & dX(t) \,dX(t) \\ =& \mu^2(t) \,dt\,dt + \sigma^2(t) \,dB(t)\,dB(t) + 2 \mu(t) \sigma(t) \,dt\,dB(t) \\ =& \sigma^2(t) \,dt, \end{aligned}\] 简记\(\frac{\partial}{\partial t} g(t, X(t))\)为\(\frac{\partial g}{\partial t}\)并类似简化， 则有 \[\begin{aligned} & d g(t, X(t)) \\ =& \frac{\partial g}{\partial t} \,dt + \frac{\partial g}{\partial x}[\mu(t) \,dt + \sigma(t) \,dB(t)] \\ & + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} \sigma^2(t) \,dt \\ =& \left[ \frac{\partial g}{\partial t} + \frac{\partial g}{\partial x} \mu(t) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} \sigma^2(t) \right] \,dt \\ & + \frac{\partial g}{\partial x} \sigma(t) \,dB(t) . \end{aligned}\]

若\(g(t, x) = g(x)\)， 则上式中\(\frac{\partial g}{\partial t} = 0\), \(\frac{\partial g}{\partial x} = g'(X(t))\), \(\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = g''(X(t))\)， 公式变成 \[\begin{aligned} & dg(X(t)) \\ =& \left[ g'(X(t)) \mu(t) + \frac{1}{2} g''(X(t)) \sigma^2(t) \right] \,dt \\ & + g'(X(t)) \sigma(t) \,dB(t) . \end{aligned}\]

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例8.9 讨论几何布朗运动的模型。

解： 设\(\{ X(t) \}\)满足 \[\begin{aligned} d X(t) = (r - \frac{1}{2} \sigma^2) \,dt + \sigma dB(t) . \end{aligned}\] 设\(S(0)\)为常数， \[\begin{aligned} S(t) = S(0) e^{X(t)}, \end{aligned}\] 令\(g(x) = S(0) e^x\)， 则\(g'(X(t)) = g''(X(t)) = S(t)\), \(dX(t) \,dX(t) = \sigma^2 \,dt\)， \[\begin{aligned} & dS(t) \\ =& \left[ g'(X(t)) (r - \frac{1}{2} \sigma^2) + \frac{1}{2} g''(X(t)) \sigma^2 \right] \\ & + g'(X(t)) \sigma \,dB(t) \\ =& \left[ S(t) (r - \frac{1}{2} \sigma^2) + \frac{1}{2} S(t) \sigma^2 \right] \,dt \\ & + S(t) \sigma \,dB(t) \\ =& S(t) r \,dt + S(t) \sigma \,dB(t) . \end{aligned}\] 所以价格\(S(t)\)的模型也是Itô过程， 漂移系数为\(r S(t)\)， 扩散系数为\(\sigma S(t)\)。

将方程改写为 \[ \frac{d S(t)}{S(t)} = r \,dt + \sigma \,dB(t), \] 左侧表示股票的瞬时收益率， 或对数收益率\(d \log(S(t))\)， 它服从\(\text{N}(r\,dt, \sigma^2 \,dt)\)。 由 \[ d \log(S(t)) = r \,dt + \sigma \,dB(t) \] 可得 \[\begin{aligned} \int_0^t d \log(S(u)) =& \log(S(t)) - \log(S(0)) \\ =& \int_0^t r \,dt + \int_0^t \sigma \,dB(u) \\ =& r t + \sigma B(t) \sim \text{N}(r t, \sigma^2 t) , \end{aligned}\] 即\(S(t)/S(0)\)服从对数正态分布\(\text{LN}(r t, \sigma^2 t)\)。

反过来， 已知\(S(t)\)服从如下的随机微分方程： \[\begin{aligned} \frac{dS(t)}{S(t)} = r \,dt + \sigma \,dB(t), \end{aligned}\] 则\(S(t)\)的漂移系数为\(r S(t)\)， 扩散系数为\(\sigma S(t)\)， 取\(g(S(t)) = \log(S(t)) - \log(S(0))\)， 有\(g'(S(t)) = [S(t)]^{-1}\), \(g''(S(t)) = -[S(t)]^{-2}\), 用Itô公式得 \[\begin{aligned} d X(t) =& d g(S(t)) \\ =& \left[ g'(S(t)) r S(t) + \frac{1}{2} g''(S(t)) \sigma^2 S^2(t) \right] \,dt \\ & + g'(S(t)) \sigma S(t) \,dB(t) \\ =& \left[ [S(t)]^{-1} r S(t) + \frac{1}{2} (-1) [S(t)]^{-2} \sigma^2 S^2(t) \right] \,dt \\ & + [S(t)]^{-1} \sigma S(t) \,dB(t) \\ =& (r - \frac{1}{2} \sigma^2) \,dt + \sigma \,dB(t) . \end{aligned}\]

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设\(\boldsymbol B(t) = (B_1(t), \dots, B_d(t))^T\), \(t \geq 0\)是多维标准布朗运动， 即每个分量为一维布朗运动且各分量随机过程之间相互独立， 设\(\{ \mathscr F_t, t \geq 0 \}\)为\(\sigma\)代数流， \(\{ \boldsymbol B(t), \mathscr F_t, t \geq 0 \}\)为适应过程， 且对任意\(0 \leq s < t\)， \(\boldsymbol B(t) - \boldsymbol B(s)\)与\(\mathscr F_s\)独立。

定义如下的多维Itô过程\(\boldsymbol X(t) = (X_1(t) ,\dots, X_n(t))^T\): \[ d X_i(t) = \mu_i(t) \,dt + \sum_{j=1}^d \sigma_{ij}(t) \,dB_j(t), \ i=1,2,\dots, n. \] 用矩阵形式写成 \[ d \boldsymbol X(t) = \boldsymbol\mu(t) + \Sigma(t) \,d \boldsymbol B(t), \] 其中\(\boldsymbol\mu(t) = (\mu_1(t), \dots, \mu_n(t))^T\)， \(\Sigma(t)\)的\((i,j)\)元素为\(\sigma_{ij}(t)\)，是\(n \times d\)矩阵。

设\(\boldsymbol g(t, \boldsymbol x) = (g_1(t, \boldsymbol x), \dots, g_m(t, \boldsymbol x))^T\)是\([0, \infty) \times \mathbb R^n\)到\(\mathbb R^m\)的二次连续可微函数， 令 \[ \boldsymbol Y(t) = g(t, \boldsymbol X(t)), \ 0 \leq t \leq T, \] 则\(\{ \boldsymbol Y(t) \}\)仍为多维Itô过程， 有如下的表达式。

定理8.10 (多维Itô公式) \[\begin{aligned} d Y_k(t) =& \frac{\partial g_k(t, \boldsymbol X(t))}{\partial t} \,dt \\ & + \sum_{j=1}^n \frac{\partial g_k(t, \boldsymbol X(t))}{\partial x_j} d X_j(t) \\ & + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 g_k(t, \boldsymbol X(t))}{\partial x_i \partial x_j} \,dX_i(t) \,dX_j(t) \\ =& \frac{\partial g_k(t, \boldsymbol X(t))}{\partial t} \,dt \\ & + \frac{\partial g_k(t, \boldsymbol X(t))}{ \partial \boldsymbol x^T} d \boldsymbol X(t) \\ & + \frac{1}{2} d \boldsymbol X^T(t) \frac{\partial^2 g_k(t, \boldsymbol X(t))}{ \partial \boldsymbol x^T \partial \boldsymbol x} d \boldsymbol X(t) , \\ & \ k=1, 2, \dots, m . \end{aligned}\] 其中 \[\begin{aligned} d \boldsymbol X(t) =& (dX_1(t), \dots, dX_n(t))^T, \\ \frac{\partial g_k(t, \boldsymbol X(t))}{ \partial \boldsymbol x^T} =& \left( \frac{\partial g_k(t, \boldsymbol X(t))}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial g_k(t, \boldsymbol X(t))}{\partial x_n} \right), \\ \frac{\partial^2 g_k(t, \boldsymbol X(t))}{ \partial \boldsymbol x^T \partial \boldsymbol x} =& \left( \frac{\partial^2 g_k(t, \boldsymbol X(t))}{ \partial x_i \partial x_j} \right)_{1 \leq i \leq n; 1 \leq j \leq n} . \end{aligned}\]

在展开\(d X_i(t)\)时，利用 \[\begin{aligned} dB_i(t) \,dB_j(t) = \delta_{ij} \,dt, \quad dt\,dt = dt \,dB_i(t) = dB_i(t)\,dt = 0 . \end{aligned}\]

推论8.2 (分部积分公式) 设\(X(t)\)，\(Y(t)\)是基于标准布朗运动\(\{ B(t), \mathscr F_t, t \geq 0\}\)的Itô积分， \[\begin{aligned} d X(t) =& \mu_X(t) \,dt + \sigma_X(t) \,dB(t), \\ d Y(t) =& \mu_Y(t) \,dt + \sigma_Y(t) \,dB(t), \end{aligned}\] 则 \[\begin{aligned} d(X(t) Y(t)) =& X(t) \,dY(t) + Y(t) \,dX(t) + d X(t) \,dY(t) \\ =& X(t) \,dY(t) + Y(t) \,dX(t) + \sigma_X(t) \sigma_Y(t) \,dt, \end{aligned}\] 从而 \[ \int_0^t Y(u) \,dX(u) = X(t) Y(t) - \int_0^t X(u) \,dY(u) - \int_0^t \sigma_X(u) \sigma_Y(u) \,du . \]

如果\(\sigma_X(t) \equiv 0\)或者\(\sigma_Y(t) \equiv 0\)， 则分部积分公式与通常的微积分的分部积分形式相同： \[ \int_0^t Y(u) \,dX(u) = X(t) Y(t) - \int_0^t X(u) \,dY(u) . \]

证明： 用多维Itô公式， 令\(g(t, x, y) = x y\)， 则 \[\begin{aligned} & \frac{\partial g}{\partial t} = 0, \ \frac{\partial g}{\partial x} = y, \ \frac{\partial g}{\partial y} = x, \\ & \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 0, \ \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = 1, \end{aligned}\] 于是 \[\begin{aligned} & d (X(t) Y(t)) = d g(t, X(t), Y(t)) \\ =& \frac{\partial g}{\partial t} \,dt + \frac{\partial g}{\partial x} \,dX(t) + \frac{\partial g}{\partial y} \,dY(t) \\ & + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} (dX(t))^2 + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} (dY(t))^2 \\ & + \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} dX(t) dY(t) \\ =& Y(t) \,dX(t) + X(t) \,dY(t) + dX(t) dY(t), \end{aligned}\] 其中 \[\begin{aligned} & dX(t) dY(t) \\ =& \mu_X(t) \mu_Y(t) \,dt\,dt + \mu_X(t) \sigma_Y(t) \,dt\,dB(t) + \sigma_X(t) \mu_Y(t) \,dB(t) \,dt \\ & + \sigma_X(t) \sigma_Y(t) \,dB(t)\,dB(t) \\ =& \sigma_X(t) \sigma_Y(t) \,dt . \end{aligned}\]

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例8.10 用分部积分公式计算\(\int_0^t u \,dB(u)\)。

解答： 令\(dX(t) = 0\,dt + \,dB(t)\)，\(dY(t) = dt + 0 \,dB(t)\), 由分部积分公式 \[\begin{aligned} & \int_0^t u \,dB(u) = \int_0^t Y(u) \,dX(u) \\ =& X(t)Y(t) - \int_0^t X(u) \,dY(u) - \int_0^t 0 \cdot 1 \,du \\ =& t B(t) - \int_0^t B(u) \,du . \end{aligned}\]

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先考虑以布朗运动的变换为被积函数的积分。

定理8.11 设\(\{ B(t), t \geq 0 \}\)为标准布朗运动， \(g(t, x)\)为连续函数， 则 \[ X = \int_a^b g(t, B(t)) \,dt \] 为随机变量，其中\(0 \leq a < b\)。

证明： 因为\(B(t)\)轨道连续， 所以\(g(t, B(t))\)为\(t\)的连续函数（每条轨道）。 取\([a,b]\)的分割\(\{ t_i, i=0,1,\dots, n \}\), 使得\(\lim_{n\to\infty} \delta_n = \max\{t_{i+1} - t_i \} = 0\)， 令 \[ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} g(t_i^*, B(t_i^*)) (t_{i+1} - t_i) \] 为达布和， 其中\(t_i^* \in [t_i, t_{i+1}]\)， 则\(S_n\)为随机变量且\(n \to \infty\)时 \(S_n \to \int_a^b g(t, B(t)) \,dt\), \(\forall \omega \in \Omega\)。 随机变量序列有点点极限则极限必为随机变量。

注：设\((\Omega, \mathscr F, P)\)为概率空间， \(\{ X_n \}\)为随机变量序列， \[ \lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = X(\omega) \in (-\infty, \infty), \ \forall \omega \in \Omega, \] 则\(X\)为随机变量。事实上 \[ \{ X > x \} = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{m=n}^\infty \{ X_m > x \} , \] 由\(\{ X_m > x \} \in \mathscr F\)知\(\{ X > x \} \in \mathscr F\)， 即\(X\)为随机变量。

定理8.12 设\(g(t, x)\)是\([0, \infty) \times (-\infty,\infty)\)上的可测函数， \(0 \leq a < b < \infty\)， \(\int_a^b E |g(u, B(u))| \,du < \infty\)，则 \[ E \int_a^b g(u, B(u)) \,du = \int_a^b E[g(u, B(u))] \,du . \]

证明： 由Fubini定理， \[\begin{aligned} & E \int_a^b g(u, B(u)) \,du \\ =& \int_{\Omega} \int_a^b g(u, B(u)) \,du \,dP(\omega) \\ =& \int_a^b \int_{\Omega} g(u, B(u)) \,dP(\omega) \,du \\ =& \int_a^b E[g(u, B(u))] \,du . \end{aligned}\]

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推论8.3 设\(g(t, x)\)是\([0, \infty) \times (-\infty,\infty)\)上的有界连续函数， \(0 \leq a < b < \infty\)，则 \[ E \int_a^b g(u, B(u)) \,du = \int_a^b E[g(u, B(u))] \,du . \]

证明： 设\(|g(t, x)| \leq C\), 则 \[ \int_a^b E|g(u, B(u))| \,du \leq C (b - a) < \infty . \]

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定理8.13 设\(g(x)\)是\((-\infty,\infty)\)上可微函数， 且\(|g'(x)| \leq C\), \(\forall x\)。 则 \[ E \int_a^b g(B(u)) \,du = \int_a^b E[g(B(u))] \,du . \]

证明： 取\([a,b]\)的分割\(\{ t_i , i=0,1,\dots,n-1 \}\), 使得\(\lim_{n\to\infty} \max_i (t_{i+1} - t_i) = 0\)， 记 \[ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} g(B(t_i^*)) (t_{i+1} - t_i), \] 其中\(t_i^* \in [t_i, t_{i+1}]\)， 则 \[ \int_a^b g(B(u)) \,du = \lim_{n\to\infty} S_n . \]

来证明\(S_n\)均方收敛， 因为均方收敛和a.s.收敛必收敛到相同的随机变量， 所以\(S_n\)均方收敛到\(\int_a^b g(B(s)) \,ds\)。

只要证明\(\{S_n \}\)是\(L^2\)空间（有二阶矩的随机变量空间）的基本列。 对\(n, m\)，存在分割\(\{ t_i, i=0,1,\dots,k \}\)使得 \[\begin{aligned} S_n =& \sum_{i=0}^{k-1} g(B(t_i'))(t_{i+1} - t_i), \\ S_m =& \sum_{i=0}^{k-1} g(B(t_i''))(t_{i+1} - t_i), \end{aligned}\] 其中\(t_i', t_i'' \in [t_i, t_{i+1}]\)。 记\(\delta_k = \max_i (t_{i+1} - t_i)\)， 则 \[\begin{aligned} \| S_n - S_m \| \leq& \sum_{i=0}^{k-1} \| g(B(t_i')) - g(B(t_i'')) \| \, (t_{i+1} - t_i) \\ =& \sum_{i=0}^{k-1} \| g'(x_i^*) [g(B(t_i')) - g(B(t_i''))] \| \, (t_{i+1} - t_i) \\ \leq& C \sum_{i=0}^{k-1} \| [g(B(t_i')) - g(B(t_i''))] \| (t_{i+1} - t_i) \\ =& C \sum_{i=0}^{k-1} |t_i' - t_i''|^{1/2} (t_{i+1} - t_i) \\ \leq& C \delta_k^{1/2} (b-a) \to 0, \ n, m \to \infty, \end{aligned}\] 其中\(x_i^*\)取值于\(B(t_i')\)和\(B(t_i'')\)组成的闭区间内。 于是， \(S_n\)均方收敛， 可知其均方极限有二阶矩从而有一阶矩， 由\(L^2\)空间中内积的连续性可得 \[\begin{aligned} & E \int_a^b g(B(u)) \,du = E \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} E S_n \\ =& \lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^n E[g(B(t_i^*))](t_{i+1} - t_i) = \int_a^b E[g(B(s))] \,ds . \end{aligned}\]

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定理8.14 设\(\{ B(t), t \geq 0 \}\)是标准布朗运动， \(0 \leq a < b < \infty\)， 函数\(f(t)\)在\([a,b]\)连续，\(g(t)\)在\([c,d]\)连续， 则 \[ Y = \int_a^b f(t) B(t) \,dt \] 为随机变量，服从正态分布，期望为0，方差为 \[ 2 \int_a^b \int_a^t f(t) f(s) s \,ds \,dt \] 又\(\left( \int_a^b f(t) B(t) \,dt, \int_c^d g(s) B(s) \,ds \right)\)服从联合正态分布，且 \[ \text{Cov}\left( \int_a^b f(t) B(t) \,dt, \int_c^d g(s) B(s) \,ds \right) = \int_a^b \int_c^d f(t) g(s) (t \wedge s) \,ds \,dt . \]

证明：

(i) 令\(A = \max( \max_{t \in [a,b]} f(t), \max_{s \in [c,d]} g(s) )\)。 令\(\xi = \max_{s \in [0, b \vee d]} B(s) + \left| \min_{s \in [0, b \vee d]} B(s) \right|\)。 由节7.5.2可知\(E \xi^2 < \infty\)。

设\(\{ t_i \}\)，\(\{ s_i \}\)分别是\([a,b]\)和\([c,d]\)的分割， 且最大间距\(\delta_n \to 0\)。 令 \[ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i^*) B(t_i^*) (t_{i+1} - t_i) \] 为积分\(\int_a^b f(t) B(t) \,dt\)的达布和，其中\(t_i^* \in [t_i, t_{i+1}]\)， 则\(S_n\)是多元正态分布随机变量的线性组合， 也服从正态分布。 因为\(B(t)\)连续，所以对每一条轨道，\(\int_a^b f(t) B(t) \,dt\)积分存在有限， \(S_n\) 点点收敛到积分\(\int_a^b f(t) B(t) \,dt\)， 正态分布的极限\(\int_a^b f(t) B(t) \,dt\)仍为正态分布。

(ii) 来证明\(S_n\)均方收敛到\(\int_a^b f(t) B(t) \,dt\)。 \(\forall \epsilon>0\)， 对\(S_n\), \(S_m\), 取达布和\(S_k\)使得\(S_k\)的分点包含\(S_n\)和\(S_m\)的所有分点， 存在\(N\)使得\(n, m \geq N\)时 \[ \max(\delta_n, \delta_m, \delta_k) < \left( \frac{\epsilon}{4 A (b-a)} \right)^2, \] 由\(f(x)\)在闭区间的一致连续性可知当\(k\)充分大时对任意\(|x-y| < \delta_k\)都有 \[ |f(x) - f(y)| < \delta = \frac{\epsilon}{4 b^{1/2} (b-a)} . \] 这时设 \[\begin{aligned} S_n =& \sum_{i=0}^{k-1} f(t_i') B(t_i') (t_{i+1} - t_i), \\ S_k =& \sum_{i=0}^{k-1} f(t_i'') B(t_i'') (t_{i+1} - t_i) \end{aligned}\] 则 \[\begin{aligned} & \| S_n - S_k \| \\ \leq& \left\| \sum \left|f(t_i') B(t_i') - f(t_i'') B(t_i'') \right| (t_{i+1} - t_i) \right\| \\ \leq& \sum\left\| f(t_i') B(t_i') - f(t_i'') B(t_i'') \right\| (t_{i+1} - t_i) \\ \leq& \sum |f(t_i')| \cdot \| B(t_i') - B(t_i'') \| (t_{i+1} - t_i) \\ & + \sum |f(t_i') - f(t_i'')| \cdot \|B(t_i'') \| (t_{i+1} - t_i) \\ \leq& A \sum |t_i' - t_i''|^{1/2} (t_{i+1} - t_i) + \sum \delta b^{1/2} (t_{i+1} - t_i) \\ \leq& A \delta_k^{1/2} (b-a) + \delta b^{1/2} (b-a) \\ \leq& \frac{\epsilon}{2} , \end{aligned}\]

同理\(\| S_m - S_k \| \leq \frac{\epsilon}{2}\)，所以 \[\begin{aligned} & \| S_n - S_m \| \\ \leq& \| S_n - S_k \| + \| S_m - S_k \| \leq \epsilon, \end{aligned}\] 即\(\{ S_n \}\)是\(L^2\)空间中的基本列， 收敛到一个二阶矩随机变量， 记为\(\int_a^b f(t) B(t) \,dt\)， 另外\(S_n\)也a.s.收敛， 这两个极限是a.s.相等的。

(iii) 由于\(S_n\)服从正态分布， 由\(S_n\)a.s.收敛或者均方收敛都推出依分布收敛， 正态分布的依分布极限仍是正态分布， 极限分布期望为\(E Y = \lim_n ES_n\), 方差\(\text{Var}(Y) = \lim_n \text{Var}(S_n)\)。

因为\(E S_n = 0\)，故 \[ E \int_a^b f(t) B(t) \,dt = 0 . \]

证明\(E Y = \lim_n ES_n\)和\(\text{Var}(Y) = \lim_n \text{Var}(S_n)\)， 还可以用内积的连续性。 因为\(\| S_n - Y \| \to 0\)， 所以 \[ E(S_n \cdot 1) \to E(Y \cdot 1) = EY, \quad E(S_n \cdot S_n) \to E(Y \cdot Y) = \text{Var}(Y) . \]

下面给出\(\lim_n E(S_n^2)\)的值。 \[\begin{aligned} E (S_n^2) =& \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} f(t_i) f(t_j) E[B(t_i^*) B(t_j^*)] (t_{i+1} - t_i) (t_{j+1} - t_j) \\ =& \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} f(t_i) f(t_j) (t_i^* \wedge t_j^*) (t_{i+1} - t_i) (t_{j+1} - t_j) \\ \to& \int_a^b \int_a^b f(t) f(s) (t \wedge s) \,ds \,dt \\ =& 2 \int_a^b \int_a^t f(t) f(s) s \,ds \,dt . \end{aligned}\]

设\(S_n\)和\(S_n'\)分别为\(\int_a^b f(t) B(t) \,dt\)和\(\int_c^d g(s) B(s) \,ds\)的达布和， 由\(S_n\)和\(S_n'\)的均方收敛性可知 \[\begin{aligned} & \left\| \langle S_n, S_n' \rangle - \left\langle \int_a^b f(t) B(t) \,dt, \; \int_c^d g(s) B(s) \,ds \right\rangle \right \| \\ \leq & \left\| \left\langle S_n - \int_a^b f(t) B(t) \,dt, \; S_n' \right\rangle \right\| + \left\| \left\langle \int_a^b f(t) B(t) \,dt, \; S_n' - \int_c^d g(s) B(s) \,ds \right\rangle \right\| \\ \leq& \left\| S_n - \int_a^b f(t) B(t) \,dt \right\| \cdot \| S_n' \| + \left\| \int_a^b f(t) B(t) \,dt \right\| \cdot \left\| S_n' - \int_c^d g(s) B(s) \,ds \right\| \\ & \to 0, \ (n\to \infty), \end{aligned}\] 而\((S_n, S_n')\)为二元正态分布， 其极限分布也服从二元正态分布。

由内积的连续性可得 \[\begin{aligned} & \text{Cov} \left( \int_a^b f(t) B(t) \,dt, \; \int_c^d g(s) B(s) \,ds \right) \\ =& E \left( \int_a^b f(t) B(t) \,dt \cdot\; \int_c^d g(s) B(s) \,ds \right) \\ =& \lim_{n\to\infty} E(S_n S_n') \\ =& \lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} f(t_i) g(s_j) (t_i^* \wedge s_j^*) (t_{i+1} - t_i) (s_{j+1} - s_j) \\ =& \int_a^b \int_c^d f(t) g(s) (t \wedge s) \,ds \,dt . \end{aligned}\]

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下面考虑\(\int_a^b f(t) \,d B(t)\)这样的随机积分。

定理8.15 设函数\(f(t)\), \(g(t)\)在\([0, \infty)\)连续可微， 则 \[ X(t) = \int_0^t f(s) \,d B(s) = f(t) B(t) - \int_0^t f'(s) B(s) \,ds , \] 为随机变量，\(X(t)\)服从正态分布，且 \[\begin{aligned} E \int_0^t f(s) \,d B(s) =& 0, \\ \text{Var}\left(\int_0^t f(s) \,d B(s) \right) =& \int_0^t f^2(s) \,ds, \\ \text{Cov}\left( \int_0^t f(u) \,d B(u), \; \int_0^s g(u) \,d B(u) \right) =& \int_0^{t \wedge s} f(u) g(u) \,du . \end{aligned}\]

证明： 利用分部积分公式即可得 \[ X(t) = \int_0^t f(s) \,d B(s) = f(t) B(t) - \int_0^t f'(s) B(s) \,ds , \] 由定理8.14可知\(X(t)\)服从正态分布， 均值为0， 且可计算 \[\begin{align} & \text{Var}(X(t)) \\ =& t f^2(t) + \int_0^t \int_0^t f'(s) f'(u) (s \wedge u) \,du \,ds - 2 f(t) \int_0^t f'(s) s \,ds . \tag{8.19} \end{align}\]

(8.19)的第二项为 \[\begin{aligned} & \int_0^t \int_0^t f'(s) f'(u) (s \wedge u) \,du \,ds \\ =& 2 \int_0^t \int_s^t f'(s) f'(u) s \, du \,ds \\ =& 2 \int_0^t s f'(s) \left[ \int_s^t f'(u) \,du \right] \,ds \\ =& 2 \int_0^t s f'(s) [f(t) - f(s)] \,ds \\ =& 2 f(t) \int_0^t s f'(s) \,ds - 2 \int_0^t s f(s) f'(s) \,ds \end{aligned}\]

所以 \[\begin{aligned} \text{Var}(X(t)) =& t f^2(t) - 2 \int_0^t s f(s) f'(s) \,ds, \end{aligned}\] 其中 \[\begin{aligned} \int_0^t s f(s) f'(s) \,ds =& \int_0^t s f(s) \, df(s) \\ =& t f^2(t) - \int_0^t f^2(s) \,ds - \int_0^t s f(s) f'(s) \,ds , \end{aligned}\]

所以 \[ 2 \int_0^t s f(s) f'(s) \,ds = t f^2(t) - \int_0^t f^2(s) \,ds , \] 于是 \[\begin{aligned} \text{Var}(X(t)) =& \int_0^t f^2(s) \,ds . \end{aligned}\]

设\(0 < s < t\)， \[\begin{align} &\text{Cov}\left( \int_0^t f(u) \,dB(u), \; \int_0^s g(v) \,dB(v) \right) \\ =& E \left\{ \left[ f(t) B(t) - \int_0^t f'(u) B(u) \,du \right] \left[ g(s) B(s) - \int_0^s g'(v) B(v) \,dv \right] \right\} \\ =& f(t) g(s) s \\ & + \int_0^s \int_0^t f'(u) g'(v) (u \wedge v) \,du \,dv \\ & - f(t) \int_0^s g'(v) v \,dv \\ & - g(s) \int_0^t f'(u) (u \wedge s) \,du . \tag{8.20} \end{align}\]

(8.20)式第四项为 \[\begin{aligned} & - g(s) \int_0^t f'(u) (u \wedge s) \,du \\ =& -g(s) \int_0^s f'(u) u \,du - g(s) \int_s^t f'(u) s \,du \\ =& -g(s) \int_0^s f'(u) u \,du - f(t) g(s) s + f(s) g(s) s , \end{aligned}\] 化简得 \[\begin{align} &\text{Cov}\left( \int_0^t f(u) \,dB(u), \; \int_0^s g(v) \,dB(v) \right) \\ =& \int_0^s \int_0^t f'(u) g'(v) (u \wedge v) \,du \,dv \\ & - f(t) \int_0^s g'(v) v \,dv \\ & - g(s) \int_0^s f'(u) u \,du + f(s) g(s) s . \tag{8.21} \end{align}\]

(8.21)式中 \[\begin{aligned} & \int_0^s \int_0^t f'(u) g'(v) (u \wedge v) \,du \,dv \\ =& \int_0^s \int_0^v f'(u) g'(v) u \,du \,dv + \int_0^s \int_v^t f'(u) g'(v) v \,du \,dv \\ =& \int_0^s \int_u^s f'(u) g'(v) u \,dv \,du + \int_0^s \int_v^t f'(u) g'(v) v \,du \,dv \\ =& \int_0^s u f'(u) \left[\int_u^s g'(v) \,dv \right] \,du + \int_0^s v g'(v) \left[\int_v^t f'(u) \,du \right] \,dv \\ =& \int_0^s u f'(u) [g(s) - g(u)] \,du + \int_0^s v g'(v) [f(t) - f(v)] \,dv \\ =& g(s) \int_0^s u f'(u) \,du - \int_0^s u f'(u) g(u) \,du + f(t) \int_0^s v g'(v) \,dv - \int_0^s v f(v) g'(v) \,dv \end{aligned}\]

将上式代入(8.21)中化简得 \[\begin{aligned} &\text{Cov}\left( \int_0^t f(u) \,dB(u), \; \int_0^s g(v) \,dB(v) \right) \\ =& - \int_0^s u f'(u) g(u) \,du - \int_0^s v f(v) g'(v) \,dv + s f(s) g(s) \\ =& -\int_0^s u d[f(u) g(u)] + s f(s) g(s) \\ =& - s f(s) g(s) + \int_0^s f(u) g(u) \,du + s f(s) g(s) \\ =& \int_0^s f(u) g(u) \,du. \end{aligned}\]

得证。

证明中的一阶矩和二阶矩可以直接推论： 因为\(\int_0^t f^2(s) \,ds < \infty\)， 所以\(f \in V\)， 所以\(\int_0^t f(s) \,dB(s)\)期望为零， 根据等距性可得方差和协方差的结论， 正态性则利用了定理8.14的结论。

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推论8.4 设\(f(t)\)在\([0, \infty)\)连续可微， 对\(0 \leq a < b\)，\(t>0\)，定义 \[\begin{aligned} X(t) =& \int_0^t f(t) \,d B(t) , \\ \int_a^b f(u) \,d B(u) =& X(b) - X(a) = \int_0^b f(u) \,d B(u) - \int_0^a f(u) \,d B(u) , \end{aligned}\] 则\(\{ X(t) , t \geq 0 \}\)是高斯过程， 有独立增量， 增量\(\int_a^b f(u) \,d B(u)\)服从正态分布， 均值为0， 方差为 \[ \text{Var}\left( \int_a^b f(u) \,d B(u) \right) = \int_a^b f^2(u) \,du . \]

证明 由节8.5.2可知\((X(a), X(b))\)服从二元正态分布， 同理可知\(\{ X(t), t \geq 0 \}\)的任意有限维分布服从多元正态分布。 于是\(X(b) - X(a)\)均值为0，方差为 \[\begin{aligned} \text{Var} \left( \int_a^b f(u) \, dB(u) \right) =& \text{Var}(X(b) - X(a)) \\ =& \int_0^b f^2(u) \,du + \int_0^a f^2(u) \,du - 2\int_0^a f^2(u) \,du \\ =& \int_a^b f^2(u) \,du . \end{aligned}\]

对任意\(0 \leq t_1 < t_2 \leq t_3 < t_4\)， 有 \[\begin{aligned} & \text{Cov}(X(t_2) - X(t_1), \, X(t_4) - X(t_3)) \\ =& \text{Cov}(X(t_2), X(t_4)) - \text{Cov}(X(t_2), X(t_3)) - \text{Cov}(X(t_1), X(t_4)) + \text{Cov}(X(t_1), X(t_3)) \\ =& \int_0^{t_2} f^2(u) \,du - \int_0^{t_2} f^2(u) \,du - \int_0^{t_1} f^2(u) \,du + \int_0^{t_1} f^2(u) \,du \\ =& 0, \end{aligned}\]

因为\(\{ X(t), t \geq 0 \}\)是高斯过程， 不相关即独立， 所以\(\{ X(t), t \geq 0 \}\)是独立增量过程。

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补充：推论8.4高斯过程结论的另外证明方法， 来自(Shreve 2004)定理4.4.9和例4.7.3。

先证明\(X(t)\)服从正态分布。 显然\(\int_0^T E[f^2(s)] \,ds = \int_0^T f^2(s) \,ds < \infty\)， 所以\(\int_0^t f(s) \,dB(s)\)满足空间\(V\)的条件， 其均值和方差由Itô积分的鞅性质可得。 来证明\(X(t)\)的矩母函数等于 \[\begin{align} E[e^{u X(t)}] = \exp\left\{ \frac{1}{2} u^2 \int_0^t f^2(s) \,ds \right\} , \ \forall u \in \mathbb R . \tag{8.22} \end{align}\] 因为\(f\)非随机，上式等价于 \[ E \exp\left\{ u X(t) - \frac{1}{2} u^2 \int_0^t f^2(s) \,ds \right\} = 1, \ \forall u \in \mathbb R . \] 证明上式需要利用更多的理论， 参见(Glasserman 2004)定理B.2.3。 (Shreve 2004)中的讨论不够严格， 没有注意到被积函数是否在\(V\)空间的条件。

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推论8.5 若\(f(t)\)是非随机的连续可微函数， 则 \[ \int_0^T f(t) \,dB(t) = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i^*)[B(t_{i+1}) - B(t_i)], \] 其中\(0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = T\)是\([0,T]\)的任意分割， 满足\(\delta_n = \max_i (t_{i+1} - t_i) \to 0\)， \(t_i^* \in [t_i, t_{i+1}]\)任意选取， 极限为\(L^2\)极限且不依赖于分割和\(t_i^*\)的选取。

证明： 易见\(f(t)\)看作一个随机过程满足空间\(V\)的条件， 定理8.1已经证明了当\(t_i^* = t_i\)的情形。 这里的结论是对非随机连续可微被积函数的一个增强结果， 即代表点不限于区间左端点。 记 \[ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i^*)[B(t_{i+1}) - B(t_i)], \] 定理8.15已证明\(S_n\)构成\(L^2\)基本列， 有均方极限在\(L^2\)空间中， 定义其均方极限为\(\int_0^T f(t) \,dB(t)\)。 下面证明极限不依赖于分割和\(t_i^*\)的选择。

设\(S_n\)和\(S_n'\)都是上述积分逼近序列但分割和代表点选择不同， 可以合并其分割点，使得\(S_n\)和\(S_n'\)可以写成 \[\begin{aligned} S_n =& \sum_{i=0}^{N_n} f(t_i') [B(t_{i+1}) - B(t_i)], \\ S_n' =& \sum_{i=0}^{N_n} f(t_i'') [B(t_{i+1}) - B(t_i)], \end{aligned}\] 由独立增量性， 可得 \[\begin{aligned} \| S_n - S_n' \|^2 =& \left\| \sum_{i=0}^{N_n} [f(t_i') - f(t_i'')]\, [B(t_{i+1}) - B(t_i)] \right\|^2 \\ =& \sum_{i=0}^{N_n} [f(t_i') - f(t_i'')]^2 \, \| B(t_{i+1}) - B(t_i) \|^2 \\ =& \sum_{i=0}^{N_n} [f(t_i') - f(t_i'')]^2 \, (t_{i+1} - t_i) \\ =& \sum_{i=0}^{N_n} [f'(\tilde t_i)]^2 (t_i' - t_i'')^2 \, (t_{i+1} - t_i) \\ \leq& \max_{t \in [0,T]} [f'(t)]^2 \sum_{i=0}^{N_n} (t_{i+1} - t_i)^2 \, (t_{i+1} - t_i) \\ \leq& \max_{t \in [0,T]} [f'(t)]^2 \delta_n^2 t \to 0, \ n \to \infty . \end{aligned}\] 因此极限不依赖于分割和代表点的选择。

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显然\(V\)是线性空间。定义模 \[\begin{align} \| X \| = \left( \int_0^T E [ X^2(t,\omega) ] \,dt \right)^{1/2} \tag{8.23} \end{align}\] 后， 按照此模导出的距离， \(V\)是可分Banach空间， 即定义定义了模(范数)和距离的线性空间， 完备（基本列都有极限且关于极限封闭）， 可分（有可数的稠密子集）。 参见(钱敏平 1990)节8.2 P.294， (龚光鲁 and 钱敏平 2019)节1.2 P.8命题1.4。

由Fubini定理， (8.23)式也可以写成 \[ \| X \| = \left( E \left[ \int_0^T X^2(t,\omega) \,dt \right] \right)^{1/2} . \]

来证明(8.23)式是\(V\)的模。 易见\(\| X \| \geq 0\)， 且\(\| X \| = 0\)当且仅当\(X(t,\omega)=0\), a.s.。 实际上， \[ E \left[ \int_0^T X^2(t,\omega) \,dt \right] = 0, \] 则依概率1地\(\int_0^T X^2(t,\omega) \,dt = 0\)， 从而对给定的\(\omega\)， \(X(t,\omega)\)作为\(t\)的函数是几乎处处为0的。 这作为\(V\)中\(0\)元素的理解。 对实数\(c\)有\(\| c X \| = |c| \cdot \| X \|\)。 要证明三角不等式\(\| X + Y \| \leq \| X \| + \| Y \|\)， 只要证明\(\| X + Y \|^2 \leq \| X \|^2 + \| Y \|^2 + 2 \| X \| \, \|Y\|\)。 事实上 \[\begin{aligned} \| X + Y \|^2 =& E \left[ \int_0^T (X + Y)^2 \,dt \right] \\ =& E \left[ \int_0^T X^2 \,dt \right] + E \left[ \int_0^T Y^2 \,dt \right] + E \left[ \int_0^T 2 X Y \,dt \right] \\ \leq& \|X\|^2 + \|Y\|^2 + 2 E \left[ \left( \int_0^T X^2 \,dt \right)^{1/2} \left( \int_0^T Y^2 \,dt \right)^{1/2}\right] \\ \leq& \|X\|^2 + \|Y\|^2 + 2 \left\{ E \left[ \left( \int_0^T X^2 \,dt \right)^{1/2} \right]^2 \right\}^{1/2} \; \left\{ E \left[ \left( \int_0^T Y^2 \,dt \right)^{1/2} \right]^2 \right\}^{1/2} \\ =& \|X\|^2 + \|Y\|^2 + 2 \left( E \int_0^T X^2 \,dt \right)^{1/2} \; \left( E \int_0^T Y^2 \,dt \right)^{1/2} \\ =& \|X\|^2 + \|Y\|^2 + 2 \|X\| \, \|Y\| . \end{aligned}\] 这里利用了\([0,T]\)上平方可积函数空间\(L^2[0,T]\)的Schwarz不等式， 和随机变量的Schwarz不等式。 这就证明了\(\| \cdot \|\)是\(V\)的模（范数）， \(V\)构成赋范线性空间。

将\(V\)中的\(X\)看成是\(([0,T]\times \Omega, \mathscr B([0,T]) \times \mathscr F, dt \times dP)\)测度空间上的平方可积函数组成的空间， 则按照测度论中\(L_p\)空间的理论可知\(\| \cdot \|\)是模，完备。 可分性从引理8.1可以看出。

由泛函分析的一般理论， 在\(V\)中定义内积 \[ \langle \phi, \psi \rangle = E \int_0^T \phi(u) \psi(u) \,du, \] 在\(V\)构成完备的内积空间（即Hilbert空间）， 且可分（有可数稠密子集）。

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被积函数是可料阶梯过程时， \(E[(\int X dB)^2] = \int E X^2 dt\)。 性质可以推广到\(X \in V\)的情形。

这里给出协方差的公式，这也包含了方差的公式。

定理8.16 设\(\{ X(u), u \in [0,s] \}\)和\(\{ Y(u), u \in [0,t] \}\)是\(V\)中的随机过程， 其中\(0 \leq s \leq t\), 则 \[\begin{aligned} & \text{Cov}\left(\int_0^s X(u) \,d B(u), \; \int_0^t Y(u) \,d B(u) \right) \\ =& \int_0^s E[X(u) Y(u)] \,du . \end{aligned}\]

证明： 随机积分期望为零，协方差等于乘积的期望， 由随机积分定义知存在简单过程\(\{ \phi_n(u) \}, \{ \psi_n(u) \} \in V\)， 使得 \[\begin{aligned} E \int_0^s [X(u) - \phi_n(u)]^2 du \to& 0, \\ \left\| \int_0^s X(u) \,dB(u) - \int_0^s \phi_n(u) \,dB(u) \right\| \to& 0, \\ E \int_0^t [Y(u) - \psi_n(u)]^2 du \to& 0 , \\ \left\| \int_0^s Y(u) \,dB(u) - \int_0^t \psi_n(u) \,dB(u) \right\| \to& 0 . \end{aligned}\]

由\(L^2(\Omega, \mathscr F, P)\)空间中内积的连续性和可料简单函数的推广等距性可知 \[\begin{aligned} & \text{Cov}\left(\int_0^s X(u) \,d B(u), \; \int_0^t Y(u) \,d B(u) \right) \\ =& E \left(\int_0^s X(u) \,d B(u) \cdot \int_0^t Y(u) \,d B(u) \right) \\ =& \lim_{n\to\infty} E \left(\int_0^s \phi_n(u) \,d B(u) \cdot \int_0^t \psi_n(u) \,d B(u) \right) \\ =& \lim_{n\to\infty} \int_0^s E[\phi_n(u) \psi_n(u)] \,du 。 \end{aligned}\]

计算 \[\begin{aligned} &\left| \int_0^s E[\phi_n(u) \psi_n(u) - X(u) Y(u)] \,du \right| \\ \leq& \int_0^s E[|\phi_n(u) - X(u)| \cdot |Y(u)|] \,du \\ & + \int_0^s E[|\phi_n(u)| \cdot |\psi_n(u) - Y(u)|] \,du \\ \leq& \int_0^s \| \phi_n(u) - X(u) \| \cdot \| Y(u) \| \,du \\ & + \int_0^s \| \phi_n(u) \| \cdot \| \psi_n(u) - Y(u) \| \,du \\ \leq& \left( \int_0^s \| \phi_n(u) - X(u) \|^2 \,ds \right)^{1/2} \left( \int_0^s \| Y(u) \|^2 \,du \right)^{1/2} \\ +& \left( \int_0^s \| \phi_n(u) \|^2 \,du \right)^{1/2} \left( \int_0^s \| \psi(u) - Y(u) \|^2 \,du\right)^{1/2} \\ =& \left( \int_0^s E[ \phi_n(u) - X(u) ]^2 \,ds \right)^{1/2} \left( \int_0^s E[Y^2(u)] \,du \right)^{1/2} \\ +& \left( \int_0^s E[ \phi_n(u) ]^2 \,du \right)^{1/2} \left( \int_0^s E[ \psi_n(u) - Y(u) ]^2 \,du\right)^{1/2} , \end{aligned}\] 其中 \[\begin{aligned} & \int_0^s E[ \phi_n(u) - X(u) ]^2 \,ds \to 0, \\ & \int_0^s E[ \psi_n(u) - Y(u) ]^2 \,du \to 0, \\ & \int_0^s E[Y^2(u)] \,du < \infty, \\ & \int_0^s E[ \phi_n(u) ]^2 \,du \leq 2 \int_0^s E[ \phi_n(u) - X(u) ]^2 \,du + 2 \int_0^s E[ X^2(u) ] \,du = O(1), \end{aligned}\] 于是有 \[\begin{aligned} & \left| \int_0^s E[\phi_n(u) \psi_n(u) - X(u) Y(u)] \,du \right| \to 0, \\ & \text{Cov}\left(\int_0^s X(u) \,d B(u), \; \int_0^t Y(u) \,d B(u) \right) \\ =& \int_0^s E[X(u) Y(u)] \,du . \end{aligned}\]

证明中利用了 \[ \left| \int_0^s f(u) g(u) du \right| \leq \left( \int_0^s f^2(u) \,du \right)^{1/2} \left( \int_0^s g^2(u) \,du \right)^{1/2} . \]

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