实际上，限制特征的数量是缓解过拟合的一种常用技术。然而，简单地丢弃特征对这项工作来说可能过于生硬。我们继续思考多项式回归的例子，考虑高维输入可能发生的情况。多项式对多变量数据的自然扩展称为单项式（monomials），也可以说是变量幂的乘积。单项式的阶数是幂的和。

例如， x 1 2 x 2 x_1^2 x_2 x12​x2​和 x 3 x 5 2 x_3 x_5^2 x3​x52​都是3次单项式。注意，随着阶数 d d d的增长，带有阶数 d d d的项数迅速增加。 给定 k k k个变量，阶数为 d d d的项的个数为 ( k − 1 + d k − 1 ) {k - 1 + d} \choose {k - 1} (k−1k−1+d​)，即 C k − 1 + d k − 1 = ( k − 1 + d ) ! ( d ) ! ( k − 1 ) ! C^{k-1}_{k-1+d} = \frac{(k-1+d)!}{(d)!(k-1)!} Ck−1+dk−1​=(d)!(k−1)!(k−1+d)!​。因此即使是阶数上的微小变化，比如从 2 2 2到 3 3 3，也会显著增加我们模型的复杂性。仅仅通过简单的限制特征数量（在多项式回归中体现为限制阶数），可能仍然使模型在过简单和过复杂中徘徊，我们需要一个更细粒度的工具来调整函数的复杂性，使其达到一个合适的平衡位置。

我们已经描述了 L 2 L_2 L2​范数和 L 1 L_1 L1​范数，它们是更为一般的 L p L_p Lp​范数的特殊情况。在训练参数化机器学习模型时，权重衰减（weight decay）是最广泛使用的正则化的技术之一，它通常也被称为 L 2 L_2 L2​正则化。

这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度，因为在所有函数 f f f中，函数 f = 0 f = 0 f=0（所有输入都得到值 0 0 0）在某种意义上是最简单的。但是我们应该如何精确地测量一个函数和零之间的距离呢？没有一个正确的答案。事实上，函数分析和巴拿赫空间理论的研究，都在致力于回答这个问题。

一种简单的方法是通过线性函数 f ( x ) = w ⊤ x f(\mathbf{x}) = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} f(x)=w⊤x中的权重向量的某个范数来度量其复杂性，例如 ∥ w ∥ 2 \| \mathbf{w} \|^2 ∥w∥2。要保证权重向量比较小，最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。将原来的训练目标 最小化训练标签上的预测损失，调整为最小化预测损失和惩罚项之和。 现在，如果我们的权重向量增长的太大，我们的学习算法可能会更集中于最小化权重范数 ∥ w ∥ 2 \| \mathbf{w} \|^2 ∥w∥2。这正是我们想要的。让我们回顾一下性回归例子。我们的损失由下式给出：

L ( w , b ) = 1 n ∑ i = 1 n 1 2 ( w ⊤ x ( i ) + b − y ( i ) ) 2 . L(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2. L(w,b)=n1​i=1∑n​21​(w⊤x(i)+b−y(i))2.

回想一下， x ( i ) \mathbf{x}^{(i)} x(i)是样本 i i i的特征， y ( i ) y^{(i)} y(i)是样本 i i i的标签， ( w , b ) (\mathbf{w}, b) (w,b)是权重和偏置参数。为了惩罚权重向量的大小，

我们必须以某种方式在损失函数中添加 ∥ w ∥ 2 \| \mathbf{w} \|^2 ∥w∥2，但是模型应该如何平衡这个新的额外惩罚的损失？实际上，我们通过正则化常数 λ \lambda λ来描述这种权衡，这是一个非负超参数，我们使用验证数据拟合：

L ( w , b ) + λ 2 ∥ w ∥ 2 , L(\mathbf{w}, b) + \frac{\lambda}{2} \|\mathbf{w}\|^2, L(w,b)+2λ​∥w∥2,

对于 λ = 0 \lambda = 0 λ=0，我们恢复了原来的损失函数。对于 λ > 0 \lambda > 0 λ>0，我们限制 ∥ w ∥ \| \mathbf{w} \| ∥w∥的大小。

这里我们仍然除以 2 2 2：当我们取一个二次函数的导数时， 2 2 2和 1 / 2 1/2 1/2会抵消，以确保更新表达式看起来既漂亮又简单。为什么在这里我们使用平方范数而不是标准范数（即欧几里得距离）？我们这样做是为了便于计算。 通过平方 L 2 L_2 L2​范数，我们去掉平方根，留下权重向量每个分量的平方和。这使得惩罚的导数很容易计算：导数的和等于和的导数。

此外，为什么我们首先使用 L 2 L_2 L2​范数，而不是 L 1 L_1 L1​范数。事实上，这个选择在整个统计领域中都是有效的和受欢迎的。 L 2 L_2 L2​正则化线性模型构成经典的岭回归（ridge regression）算法， L 1 L_1 L1​正则化线性回归是统计学中类似的基本模型，通常被称为套索回归（lasso regression）。 使用 L 2 L_2 L2​范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。 在实践中，这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。相比之下， L 1 L_1 L1​惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上，而将其他权重清除为零。 这称为特征选择（feature selection），这可能是其他场景下需要的。

L 2 L_2 L2​正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式：

w ← ( 1 − η λ ) w − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B x ( i ) ( w ⊤ x ( i ) + b − y ( i ) ) . \begin{aligned} \mathbf{w} & \leftarrow \left(1- \eta\lambda \right) \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned} w​←(1−ηλ)w−∣B∣η​i∈B∑​x(i)(w⊤x(i)+b−y(i)).​

根据之前章节所讲的，我们根据估计值与观测值之间的差异来更新 w \mathbf{w} w。然而，我们同时也在试图将 w \mathbf{w} w的大小缩小到零。这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。我们仅考虑惩罚项，优化算法在训练的每一步衰减权重。与特征选择相比，权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。较小的 λ \lambda λ值对应较少约束的 w \mathbf{w} w，而较大的 λ \lambda λ值对 w \mathbf{w} w的约束更大。

是否对相应的偏置 b 2 b^2 b2进行惩罚在不同的实践中会有所不同，在神经网络的不同层中也会有所不同。通常，网络输出层的偏置项不会被正则化。

首先，我们[像以前一样生成一些数据]，生成公式如下：

y = 0.05 + ∑ i = 1 d 0.01 x i + ϵ  where  ϵ ∼ N ( 0 , 0.0 1 2 ) . y = 0.05 + \sum_{i = 1}^d 0.01 x_i + \epsilon \text{ where } \epsilon \sim \mathcal{N}(0, 0.01^2). y=0.05+i=1∑d​0.01xi​+ϵ where ϵ∼N(0,0.012).

我们选择标签是关于输入的线性函数。标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。 为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到 d = 200 d = 200 d=200，并使用一个只包含20个样本的小训练集。

不适用权重衰退

使用权重衰退L2

使用权重衰退L1

参考文章：4.5. 权重衰减

我们介绍了通过惩罚权重的 L 2 L_2 L2​范数来正则化统计模型的经典方法。 在概率角度看，我们可以通过以下论证来证明这一技术的合理性： 我们已经假设了一个先验，即权重的值取自均值为0的高斯分布。 更直观的是，我们希望模型深度挖掘特征，即将其权重分散到许多特征中， 而不是过于依赖少数潜在的虚假关联。

在探究泛化性之前，我们先来定义一下什么是一个“好”的预测模型？我们期待“好”的预测模型能在未知的数据上有很好的表现：经典泛化理论认为，为了缩小训练和测试性能之间的差距，应该以简单的模型为目标。简单性以较小维度的形式展现，我们在讨论线性模型的单项式函数时探讨了这一点。 此外，正如我们在中讨论权重衰减（ L 2 L_2 L2​正则化）时看到的那样，参数的范数也代表了一种有用的简单性度量。

简单性的另一个角度是平滑性，即函数不应该对其输入的微小变化敏感。例如，当我们对图像进行分类时，我们预计向像素添加一些随机噪声应该是基本无影响的。1995年，克里斯托弗·毕晓普证明了具有输入噪声的训练等价于Tikhonov正则化 :cite:Bishop.1995。这项工作用数学证实了**“要求函数光滑”和“要求函数对输入的随机噪声具有适应性”之间的联系**。

然后在2014年，斯里瓦斯塔瓦等人 :cite:Srivastava.Hinton.Krizhevsky.ea.2014就如何将毕晓普的想法应用于网络的内部层提出了一个想法：在训练过程中，他们建议在计算后续层之前向网络的每一层注入噪声。因为当训练一个有多层的深层网络时，注入噪声只会在输入-输出映射上增强平滑性。

这个想法被称为暂退法（dropout）。暂退法在前向传播过程中，计算每一内部层的同时注入噪声，这已经成为训练神经网络的常用技术。这种方法之所以被称为暂退法，因为我们从表面上看是在训练过程中丢弃（drop out）一些神经元。在整个训练过程的每一次迭代中，标准暂退法包括在计算下一层之前将当前层中的一些节点置零。

需要说明的是，暂退法的原始论文提到了一个关于有性繁殖的类比：神经网络过拟合与每一层都依赖于前一层激活值相关，称这种情况为“共适应性”。作者认为，暂退法会破坏共适应性，就像有性生殖会破坏共适应的基因一样。

那么关键的挑战就是如何注入这种噪声。一种想法是以一种无偏向（unbiased）的方式注入噪声。 这样在固定住其他层时，每一层的期望值等于没有噪音时的值。

在毕晓普的工作中，他将高斯噪声添加到线性模型的输入中。在每次训练迭代中，他将从均值为零的分布 ϵ ∼ N ( 0 , σ 2 ) \epsilon \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2) ϵ∼N(0,σ2)采样噪声添加到输入 x \mathbf{x} x，从而产生扰动点 x ′ = x + ϵ \mathbf{x}' = \mathbf{x} + \epsilon x′=x+ϵ，预期是 E [ x ′ ] = x E[\mathbf{x}'] = \mathbf{x} E[x′]=x。

在标准暂退法正则化中，通过按保留（未丢弃）的节点的分数进行规范化来消除每一层的偏差。 换言之，每个中间活性值 h h h以暂退概率 p p p由随机变量 h ′ h' h′替换，如下所示：

h ′ = { 0  概率为  p h 1 − p  其他情况 \begin{aligned} h' = \begin{cases} 0 & \text{ 概率为 } p \\ \frac{h}{1-p} & \text{ 其他情况} \end{cases} \end{aligned} h′={01−ph​​ 概率为 p 其他情况​​

根据此模型的设计，其期望值保持不变，即 E [ h ′ ] = h E[h'] = h E[h′]=h。（ E [ h ′ ] = p ∗ 0 + 1 − p ∗ h 1 − p E[h'] = p*0 + 1-p*\frac{h}{1-p} E[h′]=p∗0+1−p∗1−ph​）这样子可以保证期望不变，让训练时候进行dropout，测试时候不进行dropout，同时可不需让训练时候神经网络层数翻倍。

要实现单层的暂退法函数，我们从均匀分布 U [ 0 , 1 ] U[0, 1] U[0,1]中抽取样本，样本数与这层神经网络的维度一致。然后我们保留那些对应样本大于 p p p的节点，把剩下的丢弃。

在下面的代码中，(我们实现 dropout_layer 函数，该函数以dropout的概率丢弃张量输入X中的元素)，如上所述重新缩放剩余部分：将剩余部分除以1.0-dropout。

###（2）测试dropout操作

同样，我们使用Fashion-MNIST数据集。 我们定义具有两个隐藏层的多层感知机，每个隐藏层包含256个单元。

我们可以将暂退法应用于每个隐藏层的输出（在激活函数之后）， 并且可以为每一层分别设置暂退概率： 常见的技巧是在靠近输入层的地方设置较低的暂退概率。 下面的模型将第一个和第二个隐藏层的暂退概率分别设置为0.2和0.5， 并且暂退法只在训练期间有效。

测试和训练

参考文章：暂退法（Dropout）