y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + . . . β n X n + e y = β_0+β_1X_1+β_2X_2+...β_nX_n+e y=β0​+β1​X1​+β2​X2​+...βn​Xn​+e

上式表示数据中应变量Y可以近似地表示为自变量 X 1 , X 2 . . . X m X_1,X_2...X_m X1​,X2​...Xm​的线性函数。

β 0 β_0 β0​为常数项， β 1 , β 2 , . . . β m β_1,β_2,...β_m β1​,β2​,...βm​为偏回归系数，表示在其它自变量保持不变时， X j X_j Xj​增加或减少一个单位时 Y Y Y的平均变化量， e e e是去除m个自变量对 Y Y Y影响后的随机误差（残差）。

例：27名糖尿病人的血清总胆固醇、甘油三脂、空腹胰岛素、糖化血红蛋白、空腹血糖的测量值列于下表中，试建立血糖与其它几项指标关系的多元线性回归方程。

Q = ∑ ( Y − Y ^ ) 2 = ∑ [ Y − ( b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b m X m ) ] 2 Q=\sum(Y-\hat{Y})^{2}=\sum\left[Y-\left(b_{0}+b_{1} X_{1}+b_{2} X_{2}+\cdots+b_{m} X_{m}\right)\right]^{2} Q=∑(Y−Y^)2=∑[Y−(b0​+b1​X1​+b2​X2​+⋯+bm​Xm​)]2

​ 求偏导数↓ { l 11 b 1 + l 12 b 2 + ⋯ + l 1 m b m = l 1 Y l 21 b 1 + l 22 b 2 + ⋯ + l 2 m b m = l 2 Y ⋯ ⋯ l m 1 b 1 + l m 2 b 2 + ⋯ + l m m b m = l m Y \left\{\begin{array}{l}{l_{11} b_{1}+l_{12} b_{2}+\cdots+l_{1 m} b_{m}=l_{1 Y}} \\ {l_{21} b_{1}+l_{22} b_{2}+\cdots+l_{2 m} b_{m}=l_{2 Y}} \\ {\cdots \cdots} \\ {l_{m 1} b_{1}+l_{m 2} b_{2}+\cdots+l_{m m} b_{m}=l_{m Y}}\end{array}\right.\\