标题

大的额外维度

摘要

本文研究了如果我们的世界存在额外的卷曲维度，那么这额外的维度尺度会是多大。经过分析发现，我们的世界不可能是五维时空（卷曲一个空间维），因为这样我们早就能发现额外维度的存在。

然后探讨了一下六维时空（卷曲两个空间维），发现额外维度存在但是我们没有发现是可能的，如果是十维时空那么我们就只有可能在加速器中发现了。

正文

我们现在处理了所有的背景知识。（翻译17）中我们发现了普朗克长度和引力常数在任意维度下的关系。（翻译18）中我们知道了压缩维度和引力常数的关系。我们现在已经准备好去寻找压缩后的高维空间中的普朗克长度与四维时空中普朗克长度的关系了。

首先，考虑五维时空的普朗克长度 l^{(5)}_p ，这个时空中有一个维度卷成了一个周长为 l_C 的圆，这些长度和 l_p 有什么关系呢？前面我们得到了：

把l_C提出来：

这个关系让我们发现了一种可能：如果世界是五维时空的，那么它的普朗克长度将会远大于四维时空的普朗克长度（ 1.6*10^{-33}cm ）。

现在的加速器可以研究 10^{-16}cm 尺度的问题。如果这个距离附近就是最小长度单位，比如说 l^{(5)}_p\sim 10^{-18}cm , l^{}_p\sim 10^{-33}cm ,根据（2）可以知道 l_C\sim10^{12}cm\sim10^{7}km ,这个距离比地月距离还大，这么大的额外维度如果存在我们早就发现了。

既然无法在五维时空中创造出可能符合现实的理论，我们就到六位时空试试。对于任意的维度D，我们知道：

把l_C提出来：

对于D=6，如果基本长度 l^{(6)}_6\sim10^{-18}cm 这个等式告诉我们：

这非常有趣！这时候卷曲的维度尺度为微米 \mu m=10^{-6}m 十分之一毫米就是100 \mu m ，我们发现 l_C\sim 10\mu m ，你可能觉得它还是太大了，因为即使是显微镜也能探测更小的距离。而且，我们加速器可以探测到10^{-16}cm.不过这个尝试告诉了我们可能存在额外的维度，而我们没有还没有观察到。

附加维度的存在可以通过检验两个质量之间的引力定律来验证。

这就有趣多了!这里一个方便的单位是微米= 10-6米。一毫米的十分之一是100 μm。我们发现lc ~ 10 μm。有10微米长的额外维度吗?你可能会认为这还是太大了，因为即使是显微镜也能探测更小的距离。此外，如前所述，加速器探测的距离为10-16厘米。令人惊讶的是，有可能存在“大的额外维度”，而我们还没有观测到它们。

附加维度的存在可以通过检验两个质点之间的引力定律来证实。对于远大于卷曲长度l_C的视角，这个世界是一个四维时空，两个质点之间的引力一定严格符合牛顿的平方反比定律。从另一个角度来看，对于小于卷曲长度l_C的视角，这个世界上实际上是更高的维度，所以引力定律会改变。两个质点之间的引力规律会变成 \frac{1}{r^4} ，r是两粒子的间距。

测试小距离之间的引力很困难；因为引力很弱,所以电磁力必须被精准地抵消掉。由于可能存在较大的额外维度，物理学家们尝试在小于一毫米的距离下测试平方反比定律。实验使用一个扭秤检测器，在机械悬臂的自由端有一个测试质量。在2007年，实验发现在50微米的距离平方反比定律没有偏差。这意味着如果存在额外维度，一定小于这个距离。我们前面计算出的额外维度为10微米，所以弦论仍然符合实验，只是现在无法检验。

你也许想问除了引力以外的力受额外维度的影响，比如电磁力？电磁力已经在很小的尺度下进行过测量，而且精确符合平方反比定律。比如，卢瑟福的α粒子散射实验证明了 10^{-11}cm 尺度下电磁力的平方反比定律仍然正确。因为电力的距离依赖关系会在小于额外维度尺寸时发生变化，所以这一点似乎派出了大的额外维度存在的可能。然而，在弦论中，这是有可能的。我们的空间可能是一个贯穿于额外维度三维超平面（可以类比想象一个平面在三维空间中）。这个超平面我们成为D3膜。D3膜就是有3个空间维度的D膜。

开弦有显著的性质：末端必须连着D膜。在弦论中建立的许多现象模型，正是开弦的震动产生了我们熟悉的轻子，夸克和规范场（包括麦克斯韦规范场）。这些场绑定在D3膜上并不会感受到额外维度。如果麦克斯韦场在D膜上，那么电荷的电场线就会留在D膜上而不会进入别的维度。所以电磁力的平方反比定律不会随着任何距离变化而产生改变。闭弦并不连接在D膜上，所以闭弦产生的重力会受到额外维度的印象。

尽管普朗克长度 l_p 是四维时空中一个很重要的长度。如果有一个大的额外维度，普朗克长度会比现在的更大。为什么额外维度尺度远大于基本长度尺度呢？这不是新问题而是一个更大的层次结构假设。我们前面提到过：粒子物理面对着普朗克质量和基本粒子质量的层级之间的问题。这个假设认为额外维度的尺度应该远大于基本长度。无论如何，令人兴奋的事实是目前的实验事实并无法排除大的额外维度的存在。额外维度的发现将是革命性的。

当然，有可能额外维度远大于 l_p\sim10^{-33}cm ,但仍然很小。如果时空是十维，设定D=10， l_p^{(10)}\sim10^{-18}cm ,根据（4）可以得到 l_C\sim10^{-13}cm ，这个距离已经远超过我们引力实验的精度了。额外为的尺度也许更小，我们必须用粒子加速器来研究它。