考虑这样一个问题，现在你拥有1个被解释变量y和4个解释变量，如何判断x3,x4这2个变量是没有必要的？

或者换个说法，你现在有x1，x2这2个解释变量，突然你在寻找数据时，发现了另外2个变量x3，x4可能能够被用在模型之中，这2个新变量纳入模型后是否有作用？

这两种说法本质上都是一样的，在大部分计量经济学的书中，这个问题叫做“对排除性约束的检验“（多重假设检验或联合假设检验）， 我们要检验的是：

如果这个假设成立，那么剔除掉 与 ，原方程的回归不受影响。

怎么样才能衡量不受影响或者受到较小的影响？

考虑回归的一个重要的评价标准——残差平方和

当我们剔除掉一个变量时，SSR总会增加（如果这个变量对于y毫无有用的信息，那么SSR就会不变，但一般情况下数据都是有信息的），如果这两个变量的系数在一定显著性水平下可以被认为是0，那么剔除之后SSR增加的幅度不能太大

事实上，我们要做的就是统计学意义上上如何衡量SSR增幅满足不能太大的要求。

想要看到残差平方和的差距，首先要计算出两个SSR，即对原方程和剔除变量后的方程进行回归：

得到两个残差平方和 和 ，现在我们要定义一个统计量了，它能帮助我们在某个显著性水平下拒绝/接受原假设。

其中 表示受约束模型的残差平方和， 表示不受约束模型的残差平方和， 表示去掉的变量个数（即两个模型的自由度之差）， 表示不受约束模型的自由度

F统计量服从自由度为(q,n-k-1)的F随机变量分布，而 分布已有各种表格可以查阅。

在本文例子中，

我们通过计算可以得到F值，然后查阅 的分布表，如果我们想在5%置信水平上认为 ，那么计算得出的F统计量要比较小，小到什么程度呢？

只有F的计算值比 的5%临界值还要小时，我们才可以认为在5%水平上， 和 同时为0。

同理，当F计算出来的确比较大的时候，

我们就不能认为 ，即我们要拒绝H0。

至此，我们已经完成了对这两个变量应不应该删去的判断。不过接下来还有几个问题要展开说一下。

问题1.为什么不在包含4个变量的不受约束模型中看这两个变量t值？

我们要判断的是这2个变量的去与留，而不是单独一个变量，这2个变量其实是联合在一起的，要不然一起丢弃，要不然全部保留，例如，我想判断在5%水平下应不应该保留2个变量，其中1个变量的p小于0.05，1个变量的p大于0.05，那么如何判断？

并且，如果2个变量系数的p值都大于0.05都不显著，也没办法认为2个变量系数在0.05水平下联合不显著！

伍德里奇的计量经济学导论现代观点第六版（中文版）158页中举了个例子，在一个回归方程中，两个变量系数的t值都很小，对应的p值都大于0.05，但是当我们利用联合假设时，得到的F统计量的p值为0.014，即拒绝联合为0的假设，因此伍德里奇在书里说道：“在检验一个联合假设时，孤立地看待每个t统计量，可能会误入歧途。

如果仅考虑一个变量，看t统计量就可以，事实上，对单个变量进行上述步骤检验是否应该被排除得到的F统计量，就是单个变量在原方程中的t统计量的平方， 分布与 分布相同。

问题2.为什么每次的回归结果也会有个F统计量的值？

这个F统计量其实也是按照上述步骤算出来的，只是受约束模型是将全部变量都剔除，因此回归结果自带的F统计量是用来判断回归方程的所有解释变量是否应该被联合丢弃或保留。

问题3.为什么不直接用y对想要抛弃的2个解释变量进行回归看F统计量？

在这个回归中，F统计量是判断x3与x4能否很好解释y，而不是在x1与x2的基础上，x3与x4能否很好解释y，我们还有x1和x2需要考虑。注意，我们的联合假设检验是在x1与x2这两个变量的基础上判断另外两个变量的必要性。

扩展1：F统计量的形式

利用两个方程的被解释变量都是y来进行转换，当被解释变量相同时，由于

SST仅和y有关，因此两个模型的SST都相同，而

可以得到：

即：

注意，这里的F统计量用的是=，而在F统计量最初定义中我们用的是 ，具体差别看扩展2。

扩展2：当我想判断的约束并不仅仅是都等于0怎么办？

考虑这样一个方程

我们要判断一个联合假设：

模仿一下最开始的思路，先对原方程回归得到一个 ，然后将限制条件带入，回归得到另一个 ，利用F统计量来衡量这两个SSR之间的差别是不是足够大。

问题就在于， 怎么得到？

当我们把限制条件带入，可以得到方程：

由于 的系数是1，已经不适合放在方程右边进行回归了，我们将它移到方程左边：

现在我们就可以回归了，得到一个 ，然后用相同的办法构造F统计量。

这里只能使用F统计量的SSR形式！因为现在两个模型的被解释变量不同了，一个是 ，另一个是 ，因此两个方程的 就不一样了， F统计量的 形式是通过两个模型的SST相同推导而出的，因此在扩展1中，我们用了等于号而不是恒等于号。