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教学设计课程基本信息学科 高中数学 年级 高一 学期 秋季课题 复数的四则运算（第一课时）教科书 书 名：数学必修第二册（A版） 出版社：人民教育出版社教学目标1. 能类比实数的加、减运算法则和运算律，用自己的语言解释复数的加、减法法则；能证明复数的加法满足交换律、分配律；能进行复数加法、减法运算。 2. 能类比平面向量的加、减法的几何意义，探索复数加、减运算的几何意义，并能用自己的语言进行解释；能运用复数加、减运算的几何意义解决简单问题。 3. 结合数系的扩充过程，在探索复数加减法运算法则和几何意义过程中，感悟数学知识间的联系，强化运用类比、数形结合等数学思想方法的意识，发展直观想象、逻辑推理等素养。教学内容教学重点： 1. 复数代数形式的加、减法运算及其几何意义。 教学难点： 1. 复数加减法运算的几何意义。 2. 复数加减法运算的几何意义的应用。教学过程环节一：复习回顾 问题1:结合实数系推广到复数系的过程，你觉得实数的加、减、乘、除四则运算可以推广到复数吗？ 问题2:我们学习了复数的几何意义，那么复数的运算法则与向量运算法则会不会有联系？ 师生活动：学生思考后口答，教师补充完善。四则运算在数系扩充的过程中起到重要作用，所以接下来要研究复数范围下的四则运算，明确本节课学习内容包括运算法则和几何意义。 设计意图：结合数系扩充的过程，类比实数的四则运算和复数的几何意义，帮助学生明确本节课的学习任务，为后续学习奠定基础。 环节二：类比探究，理解法则 探究1：探究复数的加法法则。 师生活动：学生通过阅读教材75页内容，小组讨论并分享对复数加法法则的认识，教师帮助总结，复数的加法法则如下： 设两个任意复数, 并且复数的和仍然是一个复数、加法法则对实数也成立。 追问1：复数的加法与多项式的加法有无共通点？ 师生活动：学生先思考再回答，教师进行引导并总结：把复数中的实部虚部看作常数，看作“变元”，复数可以看作“一次二项式”，所以复数相加类似于多项式相加，都可以看作“合并同类项”。 追问2：复数的加法满足交换律、结合律吗？ 师生活动：学生自主探究并小组讨论，教师引导学生全班展示： （加法结合律） 教师并在通过 进行验证。结合律同理可证。 设计意图：通过探究过程，让学生充分理解为什么这么定义复数的加法法则以及法则的合理性；并观察复数加法和多项式加法的异同，加强对法则的理解和应用。 探究2：复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 师生活动：学生先进行小组探究，教师在合适情况下引导并给出问题：的结果如何？的几何表示是什么？ 学生回答：借助复平面，给出在复平面上对应和、以及 。通过平行四边形法则得到由坐标运算，与复数的实部相等，与复数的虚部相等，所以得到所对应的向量就是.教师最后给出总结：复数的加法可以按照向量的加法进行。如图1所示. 追问1：你能用复数加法的几何意义来说明复数加法的运算律吗？ 师生活动：学生先自己独立思考，教师通过幻灯片展示过程。 设计意图：类比向量的加法运算和坐标运算，探索复数加法的几何意义，发展学生的直观想象、逻辑推理能力。 探究3：我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？ 师生活动：学生独立思考并小组探究，教师给出引导：先从实数减法的定义引出复数减法的定义，并结合图2分析：即把满足 的复数叫做复数减去的差，记作 所以 所以 即 小结：这与多项式减法的运算类似，且利用了待定系数法的思想。 设计意图：从实数的减法运算类比到复数的减法运算，让学生充分体会复数减法定义的合理性，并发展学生的逻辑推理等素养。 探究4：类比复数加法的几何意义，复数减法有怎样的几何意义？ 师生活动：学生独立思考后，师生一起探究：先做出复数在复平面内对应的点和向量，然后通过向量相减的法则得到引导学生讲出复数对应的向量即，最后得出总结：①复数的减法可以按照向量的减法进行。②.向量的模可以转化为两个复数减法的绝对值。 环节三：例题巩固,深化认知 例1：计算： 师生活动： 学生自己动手完成，并口述结果。小结：复数加减运算无需特别记忆法则，类比多项式的加减法运算即可。 设计意图：引导学生进行复数代数形式的加、减法时，可以类似于多项式的加、减法进行，减少法则的死记硬背，减少运算错误。 例2：根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点之间的距离. 师生活动：教师引导思路，学生自己动手完成。 解答过程： 小结：复平面上两点间的距离公式类似于平面上的两点距离公式，也可以转化为，反之亦然。 设计意图：巩固复数加减法的几何意义，并为例3做基础。 例3：若复数,求的最大值。 师生活动：教师引导思路，学生自己动手完成。 解答过程：方法1：（利用三角函数求最值） . 当取得最大值 方法2：（借助几何意义转化为两点间的距离最值问题） 解答过程:由于 ，所以复数在复平面内对应的点在单位圆上，又对应的点，所以,当共线时取得，如下图3，图4。 设计意图：通过本题检验学生对于复数减法的代数性质的认识和对复数减法的几何意义的理解。并通过代数形式来培养学生运算能力，并与函数知识联系。通过几何形式的分析，培养学生数形结合的思想，加深对复数的理解，发展直观想象、逻辑推理的素养。 环节四：总结反思、归纳提升 回顾本节课的学习过程，思考以下问题： （1）复数加法、减法的运算法则及它们的几何意义是什么？ （2）我们是如何研究复数的加法运算与减法运算的？ （3）学习了加法与减法，还有什么运算法则？该如何研究？ 师生活动：先由学生独立思考，回顾本节课的学习内容，然后全班交流，并让学生在全班前回答，由教师进行点评和完善。 设计意图：通过问题引导学生从整体上认识复数加、减法的法则及其几何意义，使其形成研究复数加、减的思想和方法，并为后续学习复数的乘、除法奠定基础。 环节五：目标检测、作业练习 1. 设 , 则 在复平面内对应的点位于第____象限. 2. 复数 , 分别表示向量 与 , 则表示向量 的复数为____. 3. 完成教科书第77页练习1、2、4题；第80页习题7.2第1、2题。 4. 完成教科书第81页习题7.2第9题，并与同学交流。 5. 自学课本第81~82页“阅读思考：代数基本定理”,并思考其中的问题。 设计意图：对学习达标情况的检测，巩固复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习。备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。教学设计课程基本信息学科 高中数学 年级 高一 学期 秋季课题 复数的四则运算（第二课时）教科书 书 名：数学必修第二册（A版） 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月教学目标能类比多项式的乘法探索复数的乘法法则，能用自己的语言解释复数的乘法法则；会依据复数的乘法法则进行运算；了解一些共轭复数的性质。 能从实数的除法出发，探索复数的除法法则，能用自己的语言解释复数的除法法则；能进行复数除法的运算，并能用复数除法解决问题。 能在复数范围内解简单的实系数一元二次方程，积累复数范围内解方程的经验，理解复数的根与方程的关系。 在探究复数代数形式的乘、除法的过程中感悟数系扩充的必要性。教学内容教学重点： 1. 复数代数形式的乘、除法则及运算律。 教学难点： 1. 复数除法的法则。 2. 复数范围内解实系数一元二次方程。教学过程环节一：温故知新 问题1：我们已经学习了哪些复数运算法则？是如何研究的？ 师生活动：学生回答，教师总结，引导学生体会复数运算与多项式运算间的联系。 设计意图：回顾旧知，为后续学习复数的乘法与除法性质奠定基础。 环节二：类比实数，获得法则 探究1：结合复数系的引入，在保持运算律不变的情况下，该如何探究复数的乘法法则？ 师生活动：学生先独立思考，然后进行小组讨论，最后形成共识： 则它们的积. 追问1：复数的乘法与多项式的乘法有哪些联系？ 师生活动：把复数中的实部和虚部看作常数，看作“变元”复数相当于一个“一次二项式”，复数相乘相当于两个“一次二项式”相乘，令后合并同类项后的结果。 追问2：复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？ 师生活动：学生类比实数运算，思考后回答： 交换律： 结合律： 分配律： 追问3：如何证明分配律： 师生活动：学生自主探究后小组交流，进行全班展示。其中分配律的证明如下： ; . 所以 . 设计意图：通过上述过程，让学生体会到复数乘法法则规定的合理性；引导学生发现乘法法则与多项式乘法之间的异同，有助于理解法则的本质；通过证明乘法的运算律，锻炼学生对乘法法则的熟练程度，发展逻辑推理、数学运算等素养。 例4 计算： 师生活动：学生独立完成后，进行全班展示，并根据情况强调：. 设计意图：帮助学生理解乘法法则的运算过程，并引导学生结合多项式运算，锻炼学生用复数法则解决问题的能力，培养数学运算的素养。 例5 计算： （1）； （2） 师生活动：学生独立完成并展示，并引导学生用平方差公式分析（1）. 追问1：你能发现复数系中的一些乘法公式吗？ 师生活动：学生指出平方差公式、等乘法公式. 追问2：观察式中的两个复数，可以发现他们互为共轭复数，若共轭复数，则是一个怎样的数？ 师生活动：学生先独立思考，教师引导总结：,，所以是一个实数，且 追问3：共轭复数还有哪些性质呢？设 师生活动：学生思考后回答，教师给出几条性质引导学生思考： （1） （2）， （3） 设计意图：让学生了解复数系中的乘法公式与实数系中的乘法公式之间的联系与区别，让学生熟练运用乘法公式简化计算，通过追问，探究共轭复数的性质，巩固乘法法则，拓展学生视野，为学习复数的除法做准备 探究3：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，请探究复数除法的法则。 师生活动：教师先从实数除法的定义拓展到复数的除法定义，学生理解后自主探究并小组讨论，注意类比复数减法法则的探究过程和复数相等的条件应用。在充分交流后总结： 即把满足的复数叫做复数 除以的商，记作或 所以 所以 即 追问1：这个法则的计算比较复杂，你还有其他方法求吗？ 师生活动：教师通过设问的形式让学生认清困难点在于分母是一个复数，通过联想到互为共轭复数的两个复数乘积是一个实数，引导其用基本性质将除法运算转化为乘法运算，最后求解。教师需要在必要时给出提示，并给与学生鼓励和总结。推导过程如下： 小结：①除法写成分数形式 ②分子与分母同时乘上分母的共轭复数 ③分母“实数化”，化简结果 设计意图：通过类比实数除法和减法性质的获取过程，帮助学生了解复数代数形式的除法法则，并引导学生思考复数代数形式除法运算的通性通法，即可类比根式的除法，得到简单的操作程序：先把两个复数相除写成分数形式，再通过分子与分母同时乘以分母的共轭复数，使分母实数化，最后化简。 环节三：例题分析 例5（3）. 计算 师生活动：学生自主计算并展示，教师在适当时机给出提示，并总结. 设计意图：通过例子让学生理解和熟练运用复数的除法运算，掌握复数除法的通性通解。 例6：在复数范围内解下列方程： （1） （2）其中 师生活动：学生独立完成后，再进行交流展示，教师让学生将自己的答案与教科书过程进行对比，关注求解过程的差异，对直接使用求根公式做法进行纠正，引导学生发现配方法在解方程中的使用。并引导学生总结：在实数范围内，实系数一元二次方程可能无根、一根或者两根，但是在复数系内一定有两根，并且给出复数范围内的求根公式。 解答过程：（1）因为, 所以的根为. 小结：方程的根为. （2）将的二次项系数化为1，得 配方得 ， 由 , 知 . 类似 (1), 可得 所以原方程的根为 . 小结：在复数范围内, 实系数一元二次方程 的求根公式为: （1）当 时, ; （2）当 时, . 追问1：你觉得一元二次方程的根可以超过两个吗？ 师生活动：引导学生阅读教科书P81阅读与思考：代数基本定理。 追问2：在复数范围内，你能对进行因式分解吗？ 师生活动：引导学生从方程根的角度分析和共轭复数乘积的性质入手，从复数范围的角度重新认识一次二项式。 设计意图：本问题回应了引言中的问题，即对实系数一元二次方程，在实数集中，有些问题使无法解决的，从而认识到引入复数的必要性和合理性。例6从特殊到一般的两道小题，可使学生获得复数范围内解实系数一元二次方程其中的求根公式。 例7：已知是关于的方程的一个根，求实数的值。 师生活动：学生独立完成并小组讨论，教师首先从复数相等的定义出发，引导学生从实部和虚部相等来求解数值。然后教师引导学生从求根公式出发，分析实系数一元二次方程的两个虚根之间的关系，最后引导学生通过因式分解来求解问题。 解答过程： 思路1：由，化简得 于是有解得 思路2：由于是实数，是方程的一个根，方程的根. 所以 化简得 解得 设计意图：一方面锻炼学生复数的乘法、除法法则的熟练度，另一方面让学生动手操作，从已知根求方程特征的角度，来理解实系数一元二次方程，了解其虚根之间互为共轭复数，进一步理解复数在求解方程中的重要性。 环节四：总结反思 回顾本节课的学习过程，思考以下问题： （1）复数的乘、除法法则的代数形式分别是什么？ （2）简述复数的乘、除法的大致思路与方法。 （3）根据复数的加法法则、乘法法则，你能说明实数系通过扩充后的新数集就是复数集吗？ 师生活动：先让学生独立思考，然后在全班范围内进行交流，最后由教师点评和总结。 设计意图：通过问题的形式引导学生回顾本节课所学知识，梳理本节课的学习内容、研究思路和思想方法。体会数系扩充的必要性。 环节五：作业练习、迁移应用 1．课本第80页练习第2、3、4题。 2. 课本第81页练习第6、8、10题 3. 已知关于的方程的一个根，求实数的值。 4. 自学课本第81-82页“阅读思考：代数基本定理”，分别用求根公式和因式分解来求解。 设计意图：巩固复数的乘除法运算法则，提升学生解决问题的能力，增强其对复数的应用意识。备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。

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