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第6课时教学设计课题 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课型 新授课R 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□1.教学内容分析本节的主要内容是复数的乘法运算的三角表示及其几何意义；复数除法运算的三角表示及其几何意义 在已学过复数乘除运算的代数表示以及复数三角表示式的情况下，学习其乘除运算的三角表示及其几何意义，一方面感悟复数三角形式下的乘除运算的简便性，另一方面进一步理解乘除运算的几何意义2.学习者分析在前面已经学习了复数的代数形式的乘除运算和复数的三角形式，理解了复数的几何意义，相信学生在学习复数的三角形式的乘、除运算及其几何意义时还是比较顺利的，也是很感兴趣的，在具体的学习过程中学生可能会在以下两方面感觉有困惑：一是对复数乘除运算所得到的辐角与计算前两个复数的辐角之间关系的理解；二是对复数乘除运算模的变化的实际意义的理解3.学习目标确定1.会进行复数三角形式的乘除运算； 2.理解复数乘、除运算的三角表示的几何意义；4.学习重点难点重点：复数乘、除运算的三角表示． 难点：复数乘、除运算的三角表示的几何意义．5.学习评价设计本节课不使仅要求学生记住结论，还要引导学生去探究复数乘、除运算的三角表示的几何意义，进而去巩固复数的三角形式的乘、除法法则。在探究过程中促进学生主动参与学习，强化学生在学习中的体验，激发学生独立思考和自主探究。促使学生“爱学”、“会学”和“会思考”。新教材的研究性呈现，给学生创设了广阔的参与空间。在本节课教学过程中引导学生去完成复数乘、除法的几何意义，让学生充分参与课堂教学。本节课内容体现了弹性，所以根据学生的发展水平，选择合适的内容进行教学，符合学生认知特点，贴近学生的生活实际。由于新教材既要求帮助学生掌握知识，又要促进学生的发展，所以本节课在教学过程中了解学生的数学学习历程，对探究复数乘、除运算的三角表示的几何意义的过程中既要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程。6.学习活动设计过程学习内容与教师活动（引领性问题）学生任务或学习活动设计设计意图或评价目标导入新 课 讲授新 课 一、情境引入 问题1：我们知道，复数可以进行加、减、乘、除运算，请回忆一下，复数代数形式加法和乘法运算的法则是什么？ 学生通过回顾上节课所学的相关的知识点,引出本节新课内容。 复数加法、乘法运算的法则是研究复数加法、乘法运算三角表示的出发点，提出这个问题，激活学生已有的认知基础，为本节课研究复数乘法运算的三角表示进行铺垫。复数乘法运算的三角表示及几何意义的探究及应用 问题2：上节课，我们学习了复数一种新的表示方法—三角形式，那么复数的加法和乘法运算是否能用三角形式来表示呢？ 思考：如果把复数，分别写成三角形式sin，你能计算+和并将结果分别表示成三角形式吗？ 答案：一般来说复数的加法不便表示成三角形式；复数乘法能表示成三角形式，其三角表示公式为： sin sin=+isin． 推导过程如下： 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到： ． 即． 思考：复数的减法运算是加法运算的逆运算，复数的减法运算是否能用三角形式来表示？ 答案：一般说来复数的减法不便表示成三角形式． 问题3：你能用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式吗？ 答案：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，可以简述为“模相乘，辐角相加”． 问题4：我们知道复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法很可能也具有几何意义．请你由复数乘法运算的三角表示进行探索、尝试． 答案：两个复数，相乘时，可以像下图那样，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点Ｏ按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．这就是复数乘法的几何意义． 问题5：你能解释和的几何意义吗？ 答案：可以写为i，其几何意义是“将i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转，得到-1对应的向量”；可以写为i，其几何意义是“将对应的向量绕点O按逆时针方向旋转，得到1对应的向量”． 例1：已知，，请把结果化为代数形式，并做出几何解释． 解； ． 几何解释：首先作与对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量．即为积所对应的向量． 复数乘法几何意义是解题关键：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 例2. 如图，向量对应的复数为1+i，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到． 求向量对应的复数（用代数形式表示）． 分析：根据复数乘法的几何意义，向量对应的复数是复数1+i与的积，其中复数的模是1，辐角的主值是120°． 解：向量对应的复数为 (1+i)(cos 120°+isin 120°) (1+i) ． 三．复数除法运算的三角表示及几何意义的探究及应用 问题6：除法运算是乘法运算的逆运算．根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？你能用文字语言加以表述吗？ 答案：可以将复数除法运算转化为乘法运算的方法（配凑法），得出复数除法运算三角表示公式：． 过程如下： 设，，且， 因为， 所以根据复数除法的定义，有． 用文字语言可表述为：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．可以简述为“模相除，辐角相减” 思考：你还有其他的推导方法吗？ 答案：也可以通过“分数”运算直接推导得出： ． 探究：类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？ 答案：由，结合图形，可以得到复数除法运算的几何意义为： 两个复数，相乘时，可以像右图那样，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按逆时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商．这就是复数除法的几何意义． 例3：计算，并把结果化为代数形式 解：． 原式 ． 复数除法几何意义是解题关键：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 问题7：如果复数z=r(cos+isin)对应的向量，绕点O按逆时针方向旋转角，模不变，所得向量对应的新复数是什么？ 答案：对应的新复数是 r(cos+isin)(cos+isin)=r[cos(+)+isin(+)]． 思考1：若按顺时针方向旋转角呢？ 答案是:对应新的复数 cos()+isin() ]． 思考2：若模伸长或者缩短倍呢 答案：伸长倍，对应的新复数为r (cos+isin)．缩短倍，对应的新复数为 (cos+isin)． 总结：利用复数的乘法和除法运算的几何意义，可以把平面向量的旋转和伸缩问题转化为复数的乘、除运算问题；反之亦然. 跟踪练习： 1、 2、. 解： . 学生根据环环相扣的思考题,探究复数的乘法三角形式的运算法则及其几何意义。 学生通过例题,巩固复数的三角形式的乘法法则。 学生类比复数乘法的几何意义，探究复数除法三角形式的运算法则及其几何意义。 学生通过例题,巩固复数的三角形式的除法法则。 学生通过练习题,巩固复数的三角形式的乘法和除法法则,并能够灵活运用. 让学生独立思考，侧重经历复数乘法的三角表示公式得出的过程，从中进一步体会复数和三角之间的紧密联系。 培养学生的语言表达能力，帮助学生进一步加深对复数乘法运算三角表示公式的理解． 让学生借助图形进行分析，探究得出复数乘法三角表示的几何意义，体会数形结合思想，同时也培养学生的自主学习能力. 让学生利用复数乘法运算三角表示及其几何意义，进一步理解熟悉的乘法运算的基本结论． 让学生运用复数乘法的三角表示公式进行运算，进一步熟悉算理和复数乘法运算三角表示的几何意义． 让学生了解利用复数乘法的几何意义可以解决某些与向量旋转、伸缩有关的复数运算问题，体会利用复数乘法的几何意义解决问题的便捷性 通过复数除法三角表示几何意义的自主探究，让学生进一步感受乘法和除法相互转化的关系，感受向量与复数之间的联系，同时感受数形结合、化归与转化思想在研究数学问题中的作用 在复数乘法运算三角表示的基础上，引导学生借助已有知识和运算技巧推导复数除法运算的三角表示，体会化归与转化和类比的数学思想，提升数学运算素养 让学生利用复数除法运算的三角表示公式进行运算，进一步熟悉算理.指导学生反思：在确保两个复数都为三角表示形式，才能运用复数的三角表示公式进行运算． 让学生思考复数乘、除运算几何意义的反向应用，培养逆向思维能力，进一步感受平面向量与复数之间可以相互转化的关系. ． 课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧7.板书设计8.作业与拓展学习设计1、课本89页习题7.3第1-4题 2、复平面内的三角形ABC是等边三角形，它的两个顶点A,B的坐标是（1,0），（2,1），求点C的坐标。 3、如图，已知平面内并列的两个全等的正方形，利用复数证明9.特色学习资源分析、技术手段应用说明高中阶段的学生学习任务非常的繁重，学生的学习压力比较大，数学作为一门重要科目，教学难度比较大，很多知识点比较抽象，学生掌握比较困难。若是还是选择遗忘的教学模式，会直接给教学工作开展造成较大的影响。所以在本节课教学的时候，应该合理的利用信息技术教学所具有的优势，引导学生更好的参与到教学中来，降低学生学习的难度，提高数学教学的质量。像本节课可以利用信息技术向大家展示向量旋转、伸缩有关的复数的图像，体会利用复数乘法的几何意义解决问题的便捷性。10.教学反思与改进本节的主要内容是复数的乘法运算的三角表示及其几何意义；复数除法运算的三角表示及其几何意义 在已学过复数乘除运算的代数表示以及复数三角表示式的情况下，学习其乘除运算的三角表示及其几何意义。在备课初我认真钻研了《数学课程标准》、教材、教参、对资料做到心中有数，掌握本节课的部分知识在单元中、在整册书中的地位、作用。思考学生怎样学，学生将会产生什么疑难，该怎样解决。 本节课重点考察了复数的三角形式的乘法和除法法则,并能够灵活运用。这就需要让学生独立思考，侧重经历复数乘法的三角表示公式得出的过程，从中进一步体会复数和三角之间的紧密联系。为了提高教学质量，我给学生更多的思考时间，让学生自主探究复数的乘、除法运算的三角表示及其几何意义。在例题的选择更着重于典型题，还很重视解题技巧。使学生领会到数学知识的发生与进展过程中的思想方法和数学的和谐美、简洁美。 总的认为，本节课基本完成了教学设计中的各个环节。学生也得到了相应的提高，不过自己也认为还有一些不足，如教学设计例题比较多，课堂上的时间比较紧张，理解其几何意义时，旋转方向是学生易忽略的地方，需多强调。因此在以后的教学中要经常教学后好好的反思，不断提高自己的教学水平。

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