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预备知识　指数函数， 复数， 导数

　　 复数域中的指数函数被定义为

\begin{align}&w = \mathrm{e} ^z = \mathrm{e} ^{x + \mathrm{i} y} = \mathrm{e} ^x(\cos y + \mathrm{i} \sin y)&(1)\end{align}

在复平面上表示这个函数，则指数的实部 x 控制函数值 w 的模长， 虚部 y 控制 w 的幅角， 如图 1 \begin{align}&\left\lvert w \right\rvert = \mathrm{e} ^x \qquad \arg(w) = y&(2)\end{align}

当指数为纯虚数时，式 1 变为著名的欧拉公式 \begin{align}&\mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} = \cos x + \mathrm{i} \sin x&(3)\\\end{align}

虽然这里的 x 一般是实数（物理中应用得最多的情况），但根据复数域三角函数的定义， 对于任何复数 z，都有欧拉公式 \begin{align}&\mathrm{e} ^{ \mathrm{i} z} = \cos z + \mathrm{i} \sin z&(4)\end{align}

将 “三角函数（复数）” 中的式 1 和式 2 代入即可证明． 　　 根据式 1 的定义结合两角和公式（式 3 ）， 容易证明 \mathrm{e} ^z 同样满足

\begin{align}&\mathrm{e} ^{z_1 + z_2} = \mathrm{e} ^{z_1} \mathrm{e} ^{z_2}&(5)\end{align}

　　 虽然我们还没有系统地学习复变函数求导的概念， 但我们可以根据式 3 求出一个物理中常见的导数公式

\begin{align}&\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ax} &= -a \sin\left(ax\right) + \mathrm{i} a \cos\left(ax\right) \\ &= \mathrm{i} a[ \cos\left(ax\right) + \mathrm{i} \sin\left(ax\right) ]\\ &= \mathrm{i} a \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ax} \end{aligned}&(6)\end{align}

进一步拓展， 令复常数 z = a + \mathrm{i} b 得 \begin{align}&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \mathrm{e} ^{z x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left( \mathrm{e} ^{ax} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} bx} \right) = (a + \mathrm{i} b) \mathrm{e} ^{(a+ \mathrm{i} b)x} = z \mathrm{e} ^{zx}&(7)\end{align}

可见 \mathrm{e} ^z 的许多性质与实数域的 \mathrm{e} ^x 类似．