定义 设 n n n阶矩阵 A A A满足 A A T = A T A = I AA^T=A^TA=I AAT=ATA=I，则称 A A A为正交矩阵。

定理1 设 A A A， B B B是同阶正交矩阵，则： (1) det ⁡ ( A ) = ± 1 \det(A)=\pm1 det(A)=±1； (2) A T , A − 1 , A ∗ A^T,A^{-1},A^* AT,A−1,A∗均为正交矩阵； (3) A B AB AB为正交矩阵。

定理2 实方阵 A A A为正交矩阵 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ A A A的列/行向量组为标准正交向量组。

证明提要：将 A A A按列分块，考察 A T A = I A^TA=I ATA=I即可。

定理3（正交变换的保范性） 设 A A A为正交矩阵，则 ∀ x 1 , x 2 ∈ R n \forall \bm x_1, \bm x_2\in R^n ∀x1​,x2​∈Rn，有： (1) ⟨ A x 1 , A x 2 ⟩ = ⟨ x 1 , x 2 ⟩ \langle A\bm x_1,A\bm x_2\rangle=\langle\bm x_1,\bm x_2\rangle ⟨Ax1​,Ax2​⟩=⟨x1​,x2​⟩； (2) ∥ A x 1 ∥ = ∥ x 1 ∥ \|A\bm x_1\|=\|\bm x_1\| ∥Ax1​∥=∥x1​∥。

证明： (1) ⟨ A x 1 , A x 2 ⟩ = ( A x 1 ) T ( A x 2 ) = x 1 T A T A x 2 = x 1 T x 2 = ⟨ x 1 , x 2 ⟩ \langle A\bm x_1,A\bm x_2\rangle=(A\bm x_1)^T(A\bm x_2)=\bm x_1^TA^TA\bm x_2=\bm x_1^T\bm x_2=\langle\bm x_1,\bm x_2\rangle ⟨Ax1​,Ax2​⟩=(Ax1​)T(Ax2​)=x1T​ATAx2​=x1T​x2​=⟨x1​,x2​⟩。 (2) 由(1)及 ∥ α ∥ = ⟨ α , α ⟩ \|\bm \alpha\|=\langle\bm\alpha,\bm\alpha\rangle ∥α∥=⟨α,α⟩即得。

定理4 设 A A A为正交矩阵，则 A A A的特征值只能为 ± 1 \pm1 ±1。

证明：设 A A A由特征值 λ \lambda λ，对应的特征向量为 α \bm\alpha α，则 A α = λ α A\bm\alpha=\lambda\bm\alpha Aα=λα。根据正交矩阵的定义， A T A = I A^TA=I ATA=I，即 α T A T A α = α T α \bm\alpha^TA^TA\bm\alpha=\bm\alpha^T\bm\alpha αTATAα=αTα，或 ( A α ) T ( A α ) = α T α (A\bm\alpha)^T(A\bm\alpha)=\bm\alpha^T\bm\alpha (Aα)T(Aα)=αTα，代入 A α = λ α A\bm\alpha=\lambda\bm\alpha Aα=λα得 ( λ α ) T ( λ α ) = α T α (\lambda\bm\alpha)^T(\lambda\bm\alpha)=\bm\alpha^T\bm\alpha (λα)T(λα)=αTα，即 λ 2 α T α = α T α \lambda^2\bm\alpha^T\bm\alpha=\bm\alpha^T\bm\alpha λ2αTα=αTα，而 α T α \bm\alpha^T\bm\alpha αTα是非零数，故 λ 2 = 1 \lambda^2=1 λ2=1，即 λ = ± 1 \lambda=\pm1 λ=±1。

定义 实对称矩阵是指元素为实数的对称矩阵。

定理5 设 A A A为 n n n阶实对称矩阵，则一定存在 n n n阶正交矩阵 P P P使得 P − 1 A P = diag ( λ 1 , λ 2 , … , λ n ) 。 P^{-1}AP=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)。 P−1AP=diag(λ1​,λ2​,…,λn​)。 证明过于繁琐，从略。 该定理表明：实对称矩阵一定可以相似对角化，并且相似变换矩阵为正交矩阵。结合相似变换矩阵是特征向量组成的事实，我们知道实对称矩阵存在一组正交的特征向量。

同时，正交矩阵也是沟通合同和相似的桥梁。对于一个二次型的矩阵 A A A来说，由于它是实对称矩阵，故 ∃ \exists ∃正交矩阵 C C C使得 C − 1 A C = Λ C^{-1}AC=\Lambda C−1AC=Λ，其中 Λ \Lambda Λ是对角矩阵。同时 C − 1 = C T C^{-1}=C^T C−1=CT，故 C T A C = Λ C^TAC=\Lambda CTAC=Λ，因此 A A A也与 Λ \Lambda Λ合同。对于非实对称矩阵则不一定具有这样的性质。