复数定义1：一对有序数对 (u,v) ； z=u+iv .

u=\operatorname{Re}z 称为实部， v=\operatorname{Im} 称为虚部。

复数定义2（复数的指数形式）： z=re^{iθ}=r(\cosθ+ i\sinθ) （Euler 公式）

【本质上是借助 Taylor 展开式： e^{iθ}=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(iθ)^n}{n!}=\cos θ+i\sin θ 】

性质：

e^{i(θ_1+θ_2)}=e^{iθ_1}\cdot e^{iθ_2}

e^{iθ}=e^{i(θ+2kπ)} 以 2π 为周期

e^{iπ}=cosπ+i\sinπ=-1 【变形得 e^{i\pi}+1=0 最美数学公式】

e^{i\cdot 2π}=1

r=|z| 称为模长（modulus）， θ=\operatorname{Arg}z 称为辐角（argument）。

关于模的几个不等式：

1. |\operatorname{Re}α|\le |α|,\ |\operatorname{Im}α|\le |α|

2. |α|\le |\operatorname{Re}α|+|\operatorname{Im}α|

3. |α\pm β|\le |α|+|β|

4. \big||α|-|β|\big|\le |α\pm β|

5. |α_1+α_2+\cdots+α_n|\le |α_1|+|α_2|+\cdots+|α_n|

辐角不唯一。所以又在 [-π,π) （或 [0,2π) ）范围内规定辐角的主值（Principle value of argument）：

\operatorname{Arg}z=\arg z+2k\pi,~k=0,\pm1,\pm2,\dots

\arg z 和 \displaystyle \arctan{y\over x} 的关系：当 z\ne 0 时，如果取 -\pi