多元复合函数不同的复合形式，分三种情形讨论。

定理1：如果函数 u = φ ( t ) u=\varphi (t) u=φ(t)及 v = ψ ( t ) v=\psi(t) v=ψ(t)都在点t可导，函数 z = f ( u , v ) z=f(u,v) z=f(u,v)在对应点 ( u , v ) (u,v) (u,v)具有连续偏导数，那么复合函数 z = f [ φ ( t ) , ψ ( t ) ] z=f[\varphi(t),\psi(t)] z=f[φ(t),ψ(t)]在点t可导，且有 d z d t = ∂ z ∂ u d u d t + ∂ z ∂ v d v d t (1) \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt} \tag{1} dtdz​=∂u∂z​dtdu​+∂v∂z​dtdv​(1) 用同样的方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。

例如，设 z = f ( u , v , w ) , u = φ ( t ) , v = ψ ( t ) , w = w ( t ) z=f(u,v,w),u=\varphi(t),v=\psi(t),w=w(t) z=f(u,v,w),u=φ(t),v=ψ(t),w=w(t) 复合而得复合函数 z = f [ φ ( t ) , ψ ( t ) , w ( t ) ] z=f[\varphi(t),\psi(t),w(t)] z=f[φ(t),ψ(t),w(t)] 则在与定理相类似的条件下，这复合函数在点t可导，且其导数可用下列公式计算： d z d t = ∂ z ∂ u d u d t + ∂ z ∂ v d v d t + ∂ z ∂ w d w d t (2) \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}+\frac{\partial z}{\partial w}\frac{dw}{dt} \tag{2} dtdz​=∂u∂z​dtdu​+∂v∂z​dtdv​+∂w∂z​dtdw​(2) 在公式（1）及公式（2）中的导数 d z d t \frac{dz}{dt} dtdz​称为全导数。

定理2：如果函数 u = φ ( x , y ) u=\varphi(x,y) u=φ(x,y)及 v = ψ ( x , y ) v=\psi(x,y) v=ψ(x,y)都在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)具有对x及对y的偏导数，函数 z = f ( u , v ) z=f(u,v) z=f(u,v)在对应点 ( u , v ) (u,v) (u,v)具有连续偏导数，那么复合函数 z = f [ φ ( x , y ) , ψ ( x , y ) ] z=f[\varphi(x,y),\psi(x,y)] z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的两个偏导数都存在，且有 ∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ y \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} ∂x∂z​=∂u∂z​∂x∂u​+∂v∂z​∂x∂v​∂y∂z​=∂u∂z​∂y∂u​+∂v∂z​∂y∂v​ 类似地，设 u = φ ( x , y ) 、 v = ψ ( x , y ) u=\varphi(x,y)、v=\psi(x,y) u=φ(x,y)、v=ψ(x,y)及 w = ω ( x , y ) w=\omega(x,y) w=ω(x,y)都在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)具有对x及对y的偏导数，函数 z = f ( u , v , m ) z=f(u,v,m) z=f(u,v,m)在对应点 ( u , v , w ) (u,v,w) (u,v,w)具有连续偏导数，则复合函数 z = f ( [ φ ( x , y ) , ψ ( x , y ) , ω ( x , y ) ] ) z=f([\varphi(x,y),\psi(x,y),\omega(x,y)]) z=f([φ(x,y),ψ(x,y),ω(x,y)]) 在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算： ∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ x + ∂ z ∂ w ∂ w ∂ x ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ z ∂ v ∂ v ∂ y + ∂ z ∂ w ∂ w ∂ y \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial y} ∂x∂z​=∂u∂z​∂x∂u​+∂v∂z​∂x∂v​+∂w∂z​∂x∂w​∂y∂z​=∂u∂z​∂y∂u​+∂v∂z​∂y∂v​+∂w∂z​∂y∂w​

定理3：如果函数 u = φ ( x , y ) u=\varphi(x,y) u=φ(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)具有对x及对y的偏导数，函数 v = ψ ( y ) v=\psi(y) v=ψ(y)在点y可导，函数 z = f ( u , v ) z=f(u,v) z=f(u,v)在对应点 ( u , v ) (u,v) (u,v)具有连续偏导数，那么复合函数 z = f [ φ ( x , y ) , ψ ( y ) ] z=f[\varphi(x,y),\psi(y)] z=f[φ(x,y),ψ(y)]在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的两个偏导数都存在，且有 ∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ x ∂ z ∂ y = ∂ z ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ z ∂ v d v d y \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dy} ∂x∂z​=∂u∂z​∂x∂u​∂y∂z​=∂u∂z​∂y∂u​+∂v∂z​dydv​ 上述情形实际上是情形2的一种特例，即在情形2中，如变量v与x无关，从而 ∂ v ∂ x = 0 \frac{\partial v}{\partial x}=0 ∂x∂v​=0；在v对y求导时，由于 v = ψ ( y ) v=\psi(y) v=ψ(y)是一元函数，故 ∂ v ∂ y \frac{\partial v}{\partial y} ∂y∂v​换成了 d v d y \frac{dv}{dy} dydv​，这就得上述结果。

在情形3中，还会遇到这样的情形：复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量。

例如，设 z = f ( u , x , y ) z=f(u,x,y) z=f(u,x,y)具有连续偏导数，而 u = φ ( x , y ) u=\varphi(x,y) u=φ(x,y)具有偏导数，则复合函数 z = f [ φ ( x , y ) , x , y ] z=f[\varphi(x,y),x,y] z=f[φ(x,y),x,y]可看做情形2中当 v = x , w = y v=x,w=y v=x,w=y的特殊情形。

因此 ∂ v ∂ x = 1 , ∂ w ∂ x = 0 ∂ v ∂ y = 0 , ∂ w ∂ y = 1 \frac{\partial v}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial w}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial v}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial w}{\partial y}=1 ∂x∂v​=1,∂x∂w​=0∂y∂v​=0,∂y∂w​=1 从而复合函数 z = f [ φ ( x , y ) , x , y ] z=f[\varphi(x,y),x,y] z=f[φ(x,y),x,y]具有对自变量x及y的偏导数，且有情形2的定理知 ∂ z ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ x ∂ z ∂ y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ y \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial y} ∂x∂z​=∂u∂f​∂x∂u​+∂x∂f​∂y∂z​=∂u∂f​∂y∂u​+∂y∂f​ 注意：这里 ∂ z ∂ x \frac{\partial z}{\partial x} ∂x∂z​与 ∂ f ∂ x \frac{\partial f}{\partial x} ∂x∂f​是不同的， ∂ z ∂ x \frac{\partial z}{\partial x} ∂x∂z​是把复合函数 z = f [ φ ( x , y ) , x , y ] z=f[\varphi(x,y),x,y] z=f[φ(x,y),x,y]中的y看做不变而对x的偏导数， ∂ f ∂ x \frac{\partial f}{\partial x} ∂x∂f​是把 f ( u , x , y ) f(u,x,y) f(u,x,y)中的u及y看做不变而对x的偏导数。 ∂ z ∂ y \frac{\partial z}{\partial y} ∂y∂z​与 ∂ f ∂ y \frac{\partial f}{\partial y} ∂y∂f​也有类似的区别。