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文章目录
一、复变函数积分的概念
学习目标
1、参数法计算复积分
二、柯西-古萨(C-G)基本定理
学习目标
三、复数闭路定理
学习目标
四、原函数与不定积分
学习目标
五、柯西积分公式
学习目标
六、解析函数的高阶导数
学习目标
七、解析函数与调和函数的关系
学习目标
1、解析函数与调和函数的关系
2、偏积分法求共轭调和函数
一、复变函数积分的概念
学习目标
会用参数法计算复积分
记住 ∫ c f ( z ) d z = ∫ c ( u + i v ) ( d x + i d y ) = ∫ c u d x − v d y + i ∫ c v d x + u d y \int_cf(z)dz=\int_c(u+iv)(dx+idy)=\int_cudx-vdy+i\int_cvdx+udy ∫cf(z)dz=∫c(u+iv)(dx+idy)=∫cudx−vdy+i∫cvdx+udy
记住 ∮ ∣ z − z 0 ∣ = r d z ( z − z 0 ) n + 1 = { 2 π i n = 0 0 n ≠ 0 \oint_{|z-z_0| =r}\frac{dz}{(z-z_0)^{n+1}}=\begin{cases} 2\pi i ;n=0 \\ 0 ; n\neq 0\end{cases} ∮∣z−z0∣=r(z−z0)n+1dz={
2πi0n=0n̸=0
1、参数法计算复积分
例题1：计算 ∫ c z d z \int_czdz ∫czdz ,其中 C C C 为从原点到点 3 + 4 i 3+4i 3+4i 的直线段. 解 解 解： 直线的方程可写作 x = 3 t ， y = 4 t ， 0 ≤ t ≤ 1 x=3t，y=4t，0\leq t\leq 1 x=3t，y=4t，0≤t≤1或 z = 3 t + i 4 t ， 0 ≤ t ≤ 1 z=3t+i4t，0\leq t\leq 1 z=3t+i4t，0≤t≤1在 C C C 上， z = ( 3 + 4 i ) t ， d z = ( 3 + 4 i ) d t z=(3+4i)t，dz=(3+4i)dt z=(3+4i)t，dz=(3+4i)dt. 于是 ∫ c z d z = ∫ 0 1 ( 3 + 4 i ) 2 t d t = ( 3 + 4 i ) 2 ∫ 0 1 t d t = 1 2 ( 3 + 4 i ) 2 . \int_czdz=\int^{1}_{0}(3+4i)^2tdt=(3+4i)^2\int^{1}_{0}tdt=\frac{1}{2}(3+4i)^2. ∫czdz=∫01(3+4i)2tdt=(3+4i)2∫01tdt=21(3+4i)2. 例题2：计算积分 ∮ c z ‾ ∣ z ∣ d z \oint_c\frac{\overline{z}}{|z|}dz ∮c∣z∣zdz 的值，其中 C C C 为 ∣ z ∣ |z| ∣z∣ 的正向圆周 解 解 解： z = r e i θ z=re^{i\theta} z=reiθ ，则 z ‾ = r e − i
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