复变函数的极限理论是研究复变函数解析性以及积分理论的基础（一种观点），因此我们需要定义复变函数的极限，这里的定义许多类似于实函数的定义。

像（实）数列那样，如果一个数列的各项都是复数，我们就称这样的数列是复数列，复数列有像实数列那样相似的性质： 设一复数列 { z n } , z n ∈ C , n ∈ N , a ∈ C {\displaystyle \{z_{n}\},z_{n}\in \mathbb {C} ,n\in \mathbb {N} ,a\in \mathbb {C} } ，若 ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N + {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ^{+}} ，使得当 n > N {\displaystyle n>N} 时有 | z n − a | ∞ z n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=a} 或 z n → a   ( n → ∞ ) {\displaystyle z_{n}\to a~(n\to \infty )} 。若复数列 { z n } {\displaystyle \{z_{n}\}} 的极限存在，则这个极限是唯一的。

复数列 { z n } {\displaystyle \{z_{n}\}} 的极限是 a {\displaystyle a} ，就是在 { z n } {\displaystyle \{z_{n}\}} 的第 N {\displaystyle N} 项之后的所有项都落在 a {\displaystyle a} 的一个邻域 N ε ( a ) {\displaystyle N_{\varepsilon }(a)} 中。如果复数列没有极限，我们说它是发散的，用数学语言表示就是 ∃ ε 0 > 0 , ∀ N ∈ N + {\displaystyle \exists \varepsilon _{0}>0,\forall N\in \mathbb {N} ^{+}} ，使得当 n > N {\displaystyle n>N} 时有 | z n − a | > ε 0 . {\displaystyle |z_{n}-a|>\varepsilon _{0}.}

由于复数域没有序关系，不能引入实数完备性的等价定理，但弱化条件相应定理可以推广到复变函数上去，例如Cauchy 收敛准则 复数列 { z n } {\displaystyle \{z_{n}\}} 收敛 ⟺ ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N + , ∀ m , n > N , {\displaystyle \iff \forall \varepsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ^{+},\forall m,n>N,} 有 | z m − z n | w 0 ∈ C {\displaystyle \exists w_{0}\in \mathbb {C} } ，当 ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0} ，使得当 0 , z ∈ E {\displaystyle 0 {\displaystyle |f(z)-w_{0}| z 0 f ( z ) = w 0 . {\displaystyle \lim _{\overset {z\to z_{0}}{z\in E}}f(z)=w_{0}.}

复变函数的极限依然有有界性这一性质：在 E {\displaystyle E} 上的函数 f {\displaystyle f} 在 z 0 {\displaystyle z_{0}} 点有极限，那么 f {\displaystyle f} 在 z 0 {\displaystyle z_{0}} 点的某个去心邻域内有界。

在复变函数上，我们依然有归结原则（Heine 定理），这也就是说函数取极限的逼近的过程就是对应数列形成极限的过程： 定义在点集 E {\displaystyle E} 上的复变函数 w = f ( z ) {\displaystyle w=f(z)} ， z 0 {\displaystyle z_{0}} 的去心邻域上 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 在 z 0 {\displaystyle z_{0}} 点的极限存在当且仅当对任何在 E ∩ N ( z 0 ) {\displaystyle E\cap N(z_{0})} 内以 z 0 {\displaystyle z_{0}} 为极限的复数列 { z n } {\displaystyle \{z_{n}\}} ， lim n → ∞ f ( z n ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(z_{n})} 存在且相等。

我们在实函数中定义过单侧极限：左极限与右极限，这相当于是从实数轴的两个方向向聚点（极限点）逼近，在一维的直线上也就只有这两种简单情形，而在一张平面上情况要复杂些：一个普通点集 E {\displaystyle E} 的极限点，可以有多个不同的路径（从不同的方向上）去逼近到这个点上，因此复变函数的极限比实函数的极限条件更强。

Heine 定理的逆定理常用来说明某个复变函数的极限不存在，我们只要找到两条路径上（即在 E ∩ N ( z 0 ) {\displaystyle E\cap N(z_{0})} 内找到两个以 z 0 {\displaystyle z_{0}} 为极限的复数列）对应的极限值不相等即可。

像实函数的极限那样，复变函数的极限也能进行四则运算。对于 lim z ∈ E z → z 0 f ( z ) = A , lim z ∈ E z → z 0 g ( z ) = B {\displaystyle \lim _{\overset {z\to z_{0}}{z\in E}}f(z)=A,\lim _{\overset {z\to z_{0}}{z\in E}}g(z)=B} ，函数极限也有以下四则运算法则：

E {\displaystyle E} 上的复变函数 w = f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle w=f(z)=u(x,y)+{\text{i}}v(x,y)} ， z 0 = x 0 + i y 0 {\displaystyle z_{0}=x_{0}+{\text{i}}y_{0}} 是 E {\displaystyle E} 的一个聚点，那么有 lim z ∈ E z → z 0 f ( z ) = w 0 = a + i b ⟺ lim ( x , y ) ∈ E ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) u ( x , y ) = a   &   lim ( x , y ) ∈ E ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) v ( x , y ) = b . {\displaystyle \lim _{\overset {z\to z_{0}}{z\in E}}f(z)=w_{0}=a+{\text{i}}b\iff \lim _{\overset {(x,y)\to (x_{0},y_{0})}{(x,y)\in E}}u(x,y)=a~\And ~\lim _{\overset {(x,y)\to (x_{0},y_{0})}{(x,y)\in E}}v(x,y)=b.}