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定理 6.1(柯西留数定理)
f ( z ) f(z) f(z) 在周线或复周线 C C C 所围的区域 D D D 内, 除 a 1 , a 2 a_{1}, a_{2} a1,a2, ⋯ , a n \cdots, a_{n} ⋯,an 外解析, 在闭域 D ˉ = D + C \bar{D}=D+C Dˉ=D+C 上除 a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} a1,a2,⋯,an 外连续, 则 ("大范围"积分)
∫ C f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n Res z = a k f ( z ) . ( 6.2 ) \int_{C} f(z) \mathrm{d} z=2 \pi \mathrm{i} \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}_{z=a_{k}} f(z) . \quad\quad(6.2) ∫Cf(z)dz=2πik=1∑nResz=akf(z).(6.2)
证 以 a k a_{k} ak 为圆心, 充分小的正数 ρ k \rho_{k} ρ
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