e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta \\

欧拉定理说明一件事，即直角坐标形式的复数 cos\theta+jsin\theta 可以用指数形式 e^{j\theta} 表出，或是复指数函数 e^{st}(s \in C) 可以被分解为三角函数的形式。

如此我们可以进行三角函数和复指数函数的转换，这会很常用：

\sin\theta = \frac{1}{2j} e^{j\theta} - \frac{1}{2j} e^{-j\theta} \\\cos\theta = \frac{1}{2} e^{j\theta} + \frac{1}{2} e^{-j\theta} \\

x(t)=e^{j \omega t} \\ x[n]=e^{j \omega n}

分别为连续和离散复指数函数，由欧拉定理我们知道

x(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t) \\ x[n]=\cos(\omega n)+j\sin(\omega n)

1、对于 x(t) ，显然存在 T 使得 f(t)=f(t+T)成立，f(x) 为周期函数，最小正周期 T 为 \frac{2 \pi}{|\omega|} 。

2、对于 x[n] ，情况稍微特殊一些，其周期 N 要求为整数。若其为周期函数，则应有

\exists N \in Z, x[n]=x[n+N] \\ \Rightarrow e^{j \omega n}=e^{j \omega (n+N)}=e^{j \omega n} \cdot e^{j \omega N} \Rightarrow e^{j \omega N}=1 \\ \Rightarrow \omega N=2 \pi k, (k \in Z) \\ \color{orange}{ \Rightarrow N \in \{ \frac{2 \pi k}{\omega}, k \in Z \} }

上述集合中的最小正整数即为 x[n] 的周期。

1、对于 x(t) 来说，随着 \omega 升高，其频率随之不断上升。

2、对于 x[n] 来说，其频率随 \omega 的变化规律也有所不同。其根本原因在于 x(\omega) 是一个周期函数： x(\omega + 2 \pi k)=e^{j (\omega + 2 \pi k)n}=e^{j \omega n} \cdot e^{j k 2\pi n}=e^{j \omega n}=x(\omega) \\ 故其频率必然随着 \omega 的变化，呈现一个周期性的变化，且周期为 2 \pi 。

这是一众拥有共同周期（Common Period）的复指数信号构成的集合。

连续时间谐波相关集包含无数个元素，定义如下：

\{ \phi_k(t)=e^{j k \omega_0 t} | k=0, \pm1, \pm2, \dots \} \\

而对于离散时间谐波相关集则只有 N 个元素：

\{ \phi_k[n]=e^{j k \frac{2\pi}{N} n} | k=0, 1, \dots, N - 1 \} \\

求解傅里叶级数，即将满足条件的周期信号展开为由其周期决定的谐波相关集元素的线性组合。

（1）连续时间信号傅里叶级数的展开表示（Synthesis Equation）

若级数收敛（见后第二小点），则原函数可以表示为

\color{orange}{ x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}{a_k e^{j k \omega_0 t}} } \\

此即傅里叶级数的合成（Synthesis）。

上述为傅里叶级数的指数形式表示，也是最便于运算的。当然也有其他的表示形式，即使用三角函数表示（针对实信号），其中也按 a_k 的表示形式（直角坐标形式或极坐标形式）分为两种：

x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}{a_k e^{j k \omega_0 t}} = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}{(a_k e^{j k \omega_0 t}+a_{-k} e^{-j k \omega_0 t})} \\

如果 x(t) 是实信号，则由共轭对称性（见后）有 a_k^*=a_{-k} （星号为共轭运算），代入上式有

x(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}{(a_k e^{j k \omega_0 t}+a_k^* e^{-j k \omega_0 t})} = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}{[ a_k e^{j k \omega_0 t} + (a_k e^{j k \omega_0 t})^* ]} \\

复数与其共轭的和将虚部消去，故

x(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} {2Re\{ a_k e^{j k \omega_0 t} \}} \\

接下来， a_k 可由两种方式给出。若以极坐标形式（ a_k = A_k e^{j \theta_k} ）给出，则

\color{orange}{ x(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} {2Re\{ A_k e^{j (k \omega_0 t + \theta_k)} \}} = a_0 + 2 \sum_{k=1}^{\infty} {A_k \cos(k \omega_0 t + \theta_k) } } \\

若以直角坐标形式（ a_k = B_k + jC_k ）给出，则

\color{orange}{ x(t) = a_0 + 2 \sum_{k=1}^{\infty} {( B_k \cos k \omega_0 t - C_k \sin k \omega_0 t )} } \\

以上两种形式往往用于书写表示结果，三角函数参与运算往往不太方便。

（2）连续时间信号级数的敛散性

对于给定连续时间周期信号 x(t) ，需要满足一些条件方能使傅里叶级数收敛。定义误差

\epsilon(t) := x(t) - \sum_{k = -\infty}^{+\infty}{a_k e^{j k \omega_0 t}} \\

若级数收敛则要求 \exists \{ a_k \}, \epsilon(t)=0 。

这里还有个弱条件，但仍然是级数收敛的充分条件： \exists \{ a_k \}, \int_T |\epsilon(t)|^2 dt = 0 。

以上其实用不到，平时往往利用两类由上衍生出的条件进行判断。

第一类条件为

\int_T |x(t)|^2 dt < \infty \\

说白了就是任意周期内信号的能量有限（功率可积）。

满足第二组的所有条件，也可以进行傅里叶展开，这组条件称为迪利克雷条件（Dirichlet Conditions）：

满足上面两类条件之一，则傅里叶级数收敛。值得一提的是，物理世界中的周期信号基本都符合能量有限的原则，故往往都可作傅里叶级数展开。

（3）连续时间信号傅里叶级数的求解（Analysis Equation）

这里提供傅里叶级数求解的两种思路。第一种是朴素求解，第二种是基于第一种思路，并结合线性代数思想的一种非常有用的形象解释。

首先是朴素方法，如上我们写出傅里叶级数的合成式为

x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}{a_k e^{j k \omega_0 t}} \\

两侧同乘一个相移并积分得

x(t) e^{-j n \omega_0 t} = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}{a_k e^{j k \omega_0 t} e^{-j n \omega_0 t}} \\ \int_T x(t) e^{-j n \omega_0 t} dt = \int_T \sum_{k = -\infty}^{+\infty}{a_k e^{j k \omega_0 t} e^{-j n \omega_0 t}} dt \\ \int_T x(t) e^{-j n \omega_0 t} dt = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}{a_k \left[ \int_T \cos[(k-n) \omega_0 t] dt + j \int_T \sin[(k-n) \omega_0 t] dt \right] } \\

观察上式右侧中括号内的内容。考虑如果 k=n ，则实部 cos(0)=1，积分得 T ，而右侧 sin(0)=0 无虚部；如果 k \ne n ，则对任意三角函数一个周期内的积分值都为 0 ，括号内值为 0 。由此化简右侧和式

\int_T x(t) e^{-j n \omega_0 t} dt = Ta_n \\

于是便得到

\color{orange}{ a_n = \frac{1}{T} \int_T x(t) e^{-j n \omega_0 t} dt } \\

它称连续傅里叶级数的分析式（Analysis Equation）。用上面提到的的另外两种三角函数形式也不难计算。

从上面最后化简和式的过程中我们察觉到一些东西，即在特定情况下某些项消为 0 ，某些项保留。由此联想到空间中的正交基：自乘得模，互乘得零。

于是第二种思路，我们试图将谐波相关集描述为对应周期信号构成的空间中的标准正交基。

首先我们定义内积（ y^*(t) 指 y(t) 的共轭）：

\left< x(t), y(t) \right>=\frac{1}{T} \int_T x(t) y^*(t) dt \\

（没学过具体内积为什么定义成这样，不过其中包含的“信号乘以信号的共轭”确实挺像其他内积的定义，有机会补上）

接下来证明标准正交基。对于谐波相关集 \{ e^{j k \omega_0 t} | k \in Z \} 的任意两元素有

\left=\frac{1}{T} \int_T e^{j (k-n) \omega_0 t} dt \\

观察知，仅有 k = n 时其内积为 1 （ |e^{j\theta}| = 1 ），否则皆为 0 ，故标准正交基得证。

于是按照傅里叶级数的定义，系数 a_k 即原信号 x(t) 在第 k 个谐波分量方向上的投影，故有

\color{orange}{ a_k = \left< x(t), e^{j k \omega_0 t} \right> = \frac{1}{T} \int_T x(t) e^{-j k \omega_0 t} dt } \\

（4）连续时间信号傅里叶级数的性质

了解傅里叶级数的相关性质，可以通过一些简单周期信号的傅里叶级数，组合变化从而求解一些较复杂周期信号的傅里叶级数。

为方便讨论，以下默认两个信号分别对应的傅里叶级数为 x(t) \rightarrow a_k, y(t) \rightarrow b_k ，且频率相同（！），周期均为 T=\frac{2\pi}{\omega_0} 。

a、线性（Linearity）

\color{orange}{ \alpha x(t) + \beta y(t) \rightarrow \alpha a_k + \beta b_k } \\

b、时移性质（Time Shifting）

\color{orange}{ x(t+t_0) \rightarrow a_ke^{j k \omega_0 t_0} } \\

可以发现二者只有相位上的移动（因子的模长为 1 ），即“时域上的平移对应于频域上的相移”。

c、时反性质（Time Reversal）

\color{orange}{ x(-t) \rightarrow a_{-k} } \\

d、时域缩放（Time Scaling）

\color{orange}{ x(\alpha t) \rightarrow a_k, (\alpha > 0) } \\

e、频移（Frequency Shifting）

\color{orange}{ e^{j M \omega_0 t} x(t) \rightarrow a_{k-M} } \\

注意和时移的加减号是相反的。

f、共轭（Conjugation）

\color{orange}{ x^*(t) \rightarrow a^*_{-k} } \\

注意取共轭还要翻转。

g、周期卷积（Periodic Convolution）

\color{orange}{ \int_T x(\tau) y(t-\tau) d\tau \rightarrow T a_k b_k } \\

该条印证了所谓的“时域上的周期卷积运算对应于频域上的乘积运算”。当然，莫要忘了乘 T 。

h、乘积（Multiplication）

\color{orange}{ x(t) y(t) \rightarrow \sum_{l=-\infty}^{+\infty} a_l b_{k-l} } \\

该条则反过来说明“频域上的乘积运算对应于时域上的卷积运算”， c[k] = \sum_{l=-\infty}^{+\infty} a[l] b[k-l] 。

i、微分（Differentiation）

\color{orange}{ \frac{\text{d}x(t)}{\text{d}t} \rightarrow (j k \omega_0) a_k } \\

将微分运算简化为乘以一个因子。

j、积分（Integration）

\color{orange}{ \int^t_{-\infty} x(t) dt \rightarrow \frac{a_k}{j k \omega_0} } \\

将积分运算简化为除以一个因子。

k、实信号相关（Real Signals）

首先实信号有如下性质：

a_k = a_{-k}^* \\ Re\{ a_k \} = Re\{ a_{-k} \} \\ Im\{ a_k \} = -Im\{ a_{-k} \} \\ |a_k| = |a_{-k}| \\ \angle a_k = -\angle a_{-k}

我们知道实信号可以进行奇偶分解：

x(t) = \frac{x(t) + x(-t)}{2} + \frac{x(t) - x(-t)}{2} = x_e(t) + x_o(t) \\

且它们的傅里叶级数为

\color{orange}{ x_e(t) \rightarrow Re\{ a_k \} } \\ \color{orange}{ x_o(t) \rightarrow jIm\{ a_k \} } \\

即偶分量的傅里叶级数为原级数的实部，奇分量的傅里叶级数为原级数的虚部带个 j 。

由此我们还可以推知，如果 x(t) 为实信号且为偶信号，则其傅里叶级数也为实数且为偶；如果 x(t) 为实信号且为奇信号，则其傅里叶级数为纯虚且为奇。

l、帕斯瓦尔定理（Parseval's Relation for Periodic Signals）

\color{orange}{ \frac{1}{T} \int_T |x(t)|^2 dt = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} |a_k|^2 } \\